Re: cos (arccos 5) = 5?

[Nicolau Corcao Saldanha <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Marcio,

Nao tenho certeza se entendi bem suas perguntas,
mas é possível resolver a equação $cos z = 5$
nos numeros complexos. As soluções são os números
da forma $2 k \pi + b i$ onde $k \in Z$,
$\pi$ é o número que você conhece e $b = arc cosh 5$.
A funcao $cosh t$, conhecida como cosseno hiperbolico,
eh definida por $cosh t = (e^t + e^(-t))/2$.
Analogamente, $senh t = (e^t - e^(-t))/2$.
Para um número complexo $z = x + i y$ temos
$cos z = cos x cosh y - i sen x senh y$ e
$sen z = sen x cosh y + i cos x senh y$.
Assim, a equação que você propos, $5 = cos(arc cos 5)$,
é correta já nos números complexos.

BTW, os números complexos são em vários sentidos
o ponto "certo" para parar: aumentar mais ainda o conjunto
dos números ou estraga a álgebra
(como com os quatérnios, que não comutam)
ou cria infinitos/infinitesimais.

[]s, N.