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Gostaria de fazer uma
pergunta que me surgiu ha pouco tempo atras:
Existe algum conjunto que esteja para as funcoes
trigonometricas assim como os numeros complexos estao para a
"radiciacao" dos numeros reais? Nao sei se consegui expressar bem
minha pergunta, mas o que eu quero saber e o seguinte:
podemos dizer que ((-1)^.5)^2 = i^2 = 1 pertence
aos reais, embora (-1)^.5 nao pertenca.
Podemos, procedendo dessa forma, dizer por
exemplo que cos(arccos 5) = 5?
A duvida surgiu quando eu estava lendo um texto
na internet sobre a resolucao da equacao completa do terceiro grau. Dada uma
equacao do tipo x^3 -3px + q = 0 (apos devidas simplificacoes de uma eq.
completa ax^3+bx^2+cx+d=0), o autor do texto sugeria a seguinte
formula:
x = 2 p^(1/2) cos ((1/3)
arccos (q)p^(-3/2)) , deduzida a partir do usual sistema {t + u=q;
tu=p^3/3} do qual x=t^1/3 + u^1/3 e solucao de x^3 + px + q} para encontrar uma
das raizes dessa equacao (e consequentemente as outras duas). O que eu estranhei
foi que o texto dizia que essa era uma maneira de
contornar o problema que a maioria das calculadoras tem em lidar com operacoes
do tipo exponenciacao com numeros complexos (ja que a formula comum envolve
muitos radicais).
O autor disse ter se baseado
na identidade cos 3x = 4(cos x)^3 - 3(cos x) para chegar a isso.
Abracos,
Marcio
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