Re: [obm-l] Seq��ncia recursiva

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, hpsb@superig.com.br wrote:
> Achei esse problema em um livro de An�lise e estou tendo dificuldades em
> resolv�-lo. � poss�vel achar o termo geral em fun��o de a_1 e n?
> 
>  
> 
> Seja (x_n) uma seq��ncia definida indutivamente por x_1 > 3 e
> x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural. 

[Omitindo o resto do enunciado]

N�o � necess�rio achar o termo geral para resolver o problema
mas como voc� pediu o termo geral aqui vai.

Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q ent�o x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A s�o 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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