Bom, após muito pelejar aí vão as resolções das questões propostas.
Agradeço ao prof. Alexandre pela colaboração.
1) O ângulo de elevação de um ponto sobre o chão para o topo de um edifício é medido como sendo pi/6, com um erro relativo máximo de 0,03%. Suponha que a distância do ponto ao edifício é medida como sendo 100m, com erro possível máximo de 2cm. Use diferenciais para aproximar o erro relativo máximo na altura calculada do edifício.
é sabido que: tg@ = h/x
em que: @ o ângulo de elevação; h é a altura e x é a distância do ponto ao edifício.
temos:
h(@,x) = x . tg(@) (função requerida para o problema)
Derivadas parciais:
h_@(@,x) = x . [sec(@)]^2 -> h_@(pi/6,100) = 400/3
h_x(@,x) = tg(@) -> h_x(pi/6,100) = [sqrt(3)/3]
delta_h = h_@(@,x) d@ + h_x(@,x) dx
dividindo a experessão por h
delta_h / h = [h_@(@,x) d@ + h_x(@,x) dx] temos o erro relativo.
delta_h / h = 0,0023
2) Suponha que a temperatura T em um ponto P(x,y) de um terreno é dada por T(x,y)=x*e^y - y*e^x graus Celsius. Se uma pessoa caminha nesse terreno, em um caminho reto que faz um ângulo de 3pi/4 com o eixo x positivo, como está variando a temperatura quando a pessoa está no ponto P(0,0)? Determine a taxa de variação da temperatura nesse ponto.
Para T(x,y)=xe^y - ye^x temos:
Grad(T) = (e^y - ye^x, xe^y - e^x) e u =(cos[3pi/4] ,sen[3pi/4]) = (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2).
D_f(x,y) = (e^y - ye^x, xe^y - e^x) . (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) (PRODUTO ESCALAR)
d_F(0,0) = (e^0 - 0.e^0, 0. e^0 - e^0) . (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)
d_F(0,0) = (1, -1) . (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = - sqrt(2)
a temperatura está decrescendo a uma razão de - sqrt(2) uidade de temperatura.
Anselmo ;-{
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