Oi, Guilherme e Salhab,
Gosto de uma outra solução marota para este tipo de problema...
Note que como P(x) = P(1-x) o grafico da função P(x) é simétrico com relação a reta x = 1/2;
Basta observar que P(1/2 - t ) = P (1/2 + t), para todo t real. Portanto se fizermos uma mudança de eixos coordenados colocando o eixo Y na abscissa x = 1/2, o que corresponde a fazer X = x-1/2, ou seja, x = X + 1/2, obteremos uma função "par" no novo sistema XOY, ou seja, não poderá haver termos em X^3 e X...
P(X+1/2) = a(X+1/2) ^4 + b(X+1/2)^3 + c(X+1/2)^2 + d(X+1/2) + e
= a[X^4 + 4X^3.(1/2)+ 6X^2.(1/2)^2+ 4X.(1/2)^3 + (1/2)^4] +
b[ X^3 + 3X^2.(1/2) + 3X.(1/2)^2 + (1/2)^3 +
c[ X^2 + 2.X.(1/2) + (1/2)^2 +
d[ X + 1/2] + e
Logo:
O coeficiente de X^3 é 2a + b = 0 , ou seja, b = -2a.
O coeficiente de X é a/2 + 3b/4 + c + d = 0, ou seja, c+d = a
Estas são as duas condições, idênticas as do Salhab.
Abraços
Nehab
Marcelo Salhab Brogliato escreveu:Olá Guilherme,
se P(x) = P(1-x), temos que: P(0) = P(1)
vejamos: P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
entao: e = a + b + c + d + e ................ a + b + c + d = 0 (i)
derivando P(x) = P(1-x), temos: P'(x) = -P'(1-x)... derivando novamente: P''(x) = P''(1-x)
mas P''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2d
novamente: P''(0) = P''(1) .... 12a + 6b + 2d = 2d ... 12a + 6b = 0 .... 2a + b = 0
hmm: P'(0) = -P'(1) ... 4a + 3b + 2c + d = -d ... 4a + 3b + 2c + 2d = 0
analisando as 3 equacoes obtidas, vemos que elas sao LD.. isto é: uma pode ser obtida atraves das demais..
entao, vamos usar apenas: a + b + c + d = 0 ... 2a + b = 0
assim: a = c+d, b = -2a = -2(c+d)
nao sei c tem mais alguma condicao...
foi isso que encontrei..
uma outra ideia seria abrir tudo: P(x) == P(1-x) ... e dps igualar os coeficientes de x^4, x^3, x^2, x e constante..
abracos,
Salhab
On 10/1/07, Guilherme Neves <guigo_neves@hotmail.com > wrote:
1-Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau de modo que P(x)=P(1-x).
2- Considere o polinômio P(x)=16x^4 - 32x^3 - 56x^2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz a condição do item 1.
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