[obm-l] Distribuições - denovo

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi pessoal. Eu mandei há algum tempo um email a respeito de distribuições, mas eu nao o vi na minha caixa de entrada, então não sei se ele nao chegou ou se ninguem respondeu mesmp. Em qualquer um dos casos, estou reenviando a questao.

 

Seja f uma funcao localmente integravel. Podemos associar a f uma distribuicao regular, Tf, dada por: Tf(phi) = integral (f*phi), sobre os reais. Gostaria de demonstrar que supp f = supp Tf, onde supp f significa suporte de f (menor fechado que contem o conjunto { x; f(x) != 0 }, e supp Tf é o suporte de uma distribuicao, isto e, o menor fechado fora do qual a distribuicao é nula (dizemos que uma distribuicao é nula num aberto U se para toda funcao teste phi de suporte contido em U, Tf(phi) = 0).

 

Uma das inclusoes é facilmente demonstravel: supp Tf \in supp f (para qualquer funcao teste phi com suporte fora de supp f, f*phi = 0, e assim Tf(phi) = 0, assim Tf é nula fora de supp f, e portanto supp Tf \in supp f)

 

O problema que encontro esta na segunda parte. Se admitirmos teoria de integracao de Riemann, ok, existe uma demonstracao simples: como ja mostramos uma inclusao, se a outra nao valer é pq existe um ponto (e entorno do qual um conjunto aberto U) que esta em supp f mas esta fora de supp Tf. Estando fora de supp Tf, devemos ter que Tf(phi) = 0 para toda phi de suporte em U. Pois bem, dentro de U existe um intervalo no qual f nao muda de sinal. Escolha uma phi com o mesmo sinal de f no centro desse intervalo e que torne-se zero ainda dentro do intervalo, e fora de U phi sempre zero. Temos entao que Tf(phi) > 0, o que e uma contradicao, visto que escolhemos phi com suporte em U, sendo que U esta fora do suporte de Tf. Assim, nao existe nenhum ponto em supp f que nao esteja tambem em supp Tf, o que mostra a segunda inclusao, concluindo a prova.

 

Agora nao consigo deomnstrar o mesmo considerando integral de lebesgue, pois nao posso admitir que se f é localmente integravel entao existe um intervalo no qual ela é continua, o que torna necessario mudar todo o argumento ( a nao ser que alguem de um jeito de dizer que por qualquer motivo f tera que ter um intervalo no qual é continua ).

 

 

Se alguem tiver alguma ideia, sera muito bem vinda!

 

Obrigado,

Bruno

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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com

e^(pi*i)+1=0