[obm-l] Problema de funções do Artur

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Aug 23, 2007 at 01:47:08PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente.
> Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n --> oo)  [f(1) +
> f(2)....+  f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do
> carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral
> infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada
> inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a
> integral existe em qualquer intervalo compacto.
> 
> Suponhamos agora que, para cada x >= 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por
> f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x > 0 e constante
> em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x -
> Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g
> estah bem definida. Se x<>1,
> 
> g(x) = lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x -  (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] > e , se x=1
> 
> g(1) = lim (n --> oo)  [1/1 + 1/2 .....1/nx - ln(n)] , que é a famosa
> constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5
> 
> Se x >1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que 
> 
> g(x) =  lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .....1/n^x -  1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x
> -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé
> analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta
> real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2
> 
> Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que > g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui.

Escreva

g(s) = SOMA_{n=1}^{infinito} h_n(s),
h_n(s) = 1/n^s - (int_n^(n+1) dt/t^s)
       = n^(-s) - (int_n^(n+1) t^(-s) dt)
       = exp(-s log n) - (int_n^(n+1) exp(-s log t) dt).

Assim g fica escrita como uma série de funções.
Note que a função t^(-s) é decrescente em t logo

0 <= h_n(s) <= n^(-s) - (n+1)^(-s)

e um argumento telescópico prova a convergência da série para s > 0.
Para verificar que g é derivável devemos estimar as derivadas h_n'(s):

h_n'(s) = H(s,n) - int_n^(n+1) H(s,t) dt,
H(s,t) = - log t exp(-s log t).

A derivada parcial de H em relação a t é

H_t(s,t) = (s log t - 1) exp(-s log t) / t

donde H_t(s,t) > 0 para t > exp(1/s).
Ou seja, em qualquer intervalo compacto contido em (0,infinito)
existe um N a partir do qual

H(s,n) - H(s,n+1) <= h_n'(s) <= 0

e novamente por um argumento telescópico a série SOMA h_n'(s)
converge uniforme e absolutamente para uma função contínua
que será g'(s).

Mas o melhor mesmo é provar que a sua função g é *inteira*.
Considere a fórmula que você provou para s > 1: g(s) = Z(s) - 1/(s-1).
Ora, é sabido que a função zeta tem uma única singularidade em C:
um polo simples em s=1. Ao subtrair 1/(s-1), você obteve uma função
inteira g_1(s) = Z(s) - 1/(s-1). O que você quer provar portanto
é que o limite que você usou para definir g continua convergindo para
o valor "correto" g_1(s) para s no intervalo (0,1].
Tudo isso pode ser feito estimando as funções h_n(s) acima
em vizinhanças compactas apropriadas de reais x em (0,infinito).

Note finalmente que o ponto s = 0  não pode ser tratado desta
forma e tenho quase certeza que o seu limite original dá a resposta errada.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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