Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Renan,
(ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse
geral)

Você está certo.  Na verdade você provou apenas que  f(A inter
B) <= f(A) inter f(B)   (está contido)

Eis o que você escreveu:

> {f(x): x pertence (A inter B)}
> <-> {f(x): x pertence A e x pertence B}. 

Aqui, você está no contexto do "se e somente se".  Está
perfeito.  Mas quando você coloca "se x pertence a A, etc"
você não está mais no "se e somente se"...  

Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):

Quero provar que   f(A inter B) <= f(A) inter
f(B).   Então provemos que:
a)  f(A inter B) <= f(A) inter f(B)
b)  f(A) inter f(B) <= f(A inter B) 

Para provar a)  vejamos (foi o que você fez):

Seja y em f(A inter B); então  há x em (A inter B) tal que f(x) =
y
Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que  x está em A e x
está em B;
Logo, y = f(x) está em f(A)  e  y = f(x)  está em f(B);
logo este mesmo y está em na interseção, ou seja, f(A) inter
f(B).   Isto você provou, como está escrito abaixo  (mas
acho que começando um pouco pelo meio, pois se você quer provar que M
<= N forçosamente comece assim: seja z em M.... até chegar a z em N; e
você começou assumindo um x em A, que não está diretamente ligado ao que
você quer provar - deu para entender?):

> se x pertence a A, f(x) 
> pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa
> forma
> f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter
> f(B)

Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter f(B) 
tal y está em f(A inter B), pois, veja (item b) :

Seja y em  f(A) inter f(B); logo, y está em f(A)  e em 
f(B)  (pois está na interseção dos conjuntos, logo está em cada um
deles);  mas se y está em f(A)  há algum sujeito em A,
chamemo-lo de x1 tal que  f(x1) = y;  e se y está em f(B) 
há  algum cara em B (chamemo-lo de x2)  tal que f(x2) =
y.    Então você tem um cara x1 em A e um cara x2 em B e
pronto (e mais nada).  Mas se x1 e x2 forem o mesmo cara, então de
fato você teria um x=x1=x2  em A inter B e então haveria um x em A
inter B tal que f(x) = y ou seja,  tal y estaria (como desejamos) em
f(A inter B).

E é fácil ver que se  f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais
e isto fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para
justificar a igualdade dos conjuntos).

Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando fui
aluno do Prof. Barbosa no IME (ih.... em 1969 e 70) e ele nos
enlouquecia  com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época
achavam um saco.    Ledo engano.  Foram estes
exercícios que certamente nos deram a clareza que hoje minha
"tchurma" tem no que poderíamos chamar de "prática de
lógica e de teoria dos conjuntos básicos"). 

Abração
Nehab

PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?

At 21:31 23/8/2007, you wrote:
> Olá a todos!
>
> Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
> (Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory
> Real
> Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
>
> Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade
> em:
>
> f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
>
> Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
>
> Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na
> demonstração,
> não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
> uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE
> f(A
> união B).
>
> Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)}
> <->
> {f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
> pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa
> forma
> f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter
> f(B)
>
> Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
> consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio
> e
> f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma
> coisa
> me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que
> f(A)
> inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
>
>
> Agradeço qualquer ajuda,
> Abraços,
> J. Renan
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================