Re: [obm-l] Integral Gaussiana

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Nicolau,

Adorei,

Obrigado,
Nehb

At 15:28 22/8/2007, you wrote:
> On Wed, Aug 22, 2007 at
> 12:34:39PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:
> > Oi, Shine,
> > 
> > Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício
> > clássico?   Já procurei no passado outros caminhos,
> inclusive 
> > utilizando séries, mas não fui bem sucedido.
>
> Eu não sou o Shine, mas vou responder.
>
> Calcular esta integral é equivalente a calcular
> (-1/2)! = Gamma(1/2) = sqrt(pi)
> onde Gamma é a função Gamma de Euler, ou seja, definimos 
>
> a! = int_0^infty t^a e^(-t) dt
>
> De fato, fazendo a substituição s^2 = t temos
>
> int_0^infty e^(-s^2) ds = (1/2) int_0^infty t^(-1/2) e^(-t) dt =
> (1/2)!
>
> Para provar que (-1/2)! = sqrt(pi) podemos usar o seguinte
> limite:
>
> a! = lim_(n -> infty) n^a * n!/(a+1)(a+2)...(a+n)
>
> Este limite é conseqüência da convexidade de log(Gamma(x)).
>
> Assim,
>
> (-1/2)! = lim_(n -> infty)
> n!/(sqrt(n)*(1/2)*(3/2)*...*((2n-1)/2))
> = lim_(n -> infty) 2^(2n)*(n!)^2/(sqrt(n)*(2n)!)
>
> Agora usamos Stirling:
>
> n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)
>
> para obter
>
> (-1/2)! = lim_(n -> infty)
> 2^(2n)*n^(2n)*e^(-2n)*2*pi*n/sqrt(n)*(2n)^(2n)*e^(-2n)*sqrt(2*pi*n)
> = sqrt(pi)
>
> Bem, a outra solução ainda é mais simples...
>
> []s, N.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================