Re: [obm-l] Integral Gaussiana

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Aug 22, 2007 at 12:34:39PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:
> Oi, Shine,
> 
> Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício 
> clássico?   Já procurei no passado outros caminhos, inclusive 
> utilizando séries, mas não fui bem sucedido.

Eu não sou o Shine, mas vou responder.

Calcular esta integral é equivalente a calcular
(-1/2)! = Gamma(1/2) = sqrt(pi)
onde Gamma é a função Gamma de Euler, ou seja, definimos 

a! = int_0^infty t^a e^(-t) dt

De fato, fazendo a substituição s^2 = t temos

int_0^infty e^(-s^2) ds = (1/2) int_0^infty t^(-1/2) e^(-t) dt = (1/2)!

Para provar que (-1/2)! = sqrt(pi) podemos usar o seguinte limite:

a! = lim_(n -> infty) n^a * n!/(a+1)(a+2)...(a+n)

Este limite é conseqüência da convexidade de log(Gamma(x)).

Assim,

(-1/2)! = lim_(n -> infty) n!/(sqrt(n)*(1/2)*(3/2)*...*((2n-1)/2))
= lim_(n -> infty) 2^(2n)*(n!)^2/(sqrt(n)*(2n)!)

Agora usamos Stirling:

n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)

para obter

(-1/2)! = lim_(n -> infty)
2^(2n)*n^(2n)*e^(-2n)*2*pi*n/sqrt(n)*(2n)^(2n)*e^(-2n)*sqrt(2*pi*n)
= sqrt(pi)

Bem, a outra solução ainda é mais simples...

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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