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RES: RES: [obm-l] divisibilidade II
Oi
De
fato é a série de Taylor, que no caso der polinômios acaba tendo um número
finito de termos não nulos. Mantendo nosa terminologia, suponhamos que
k| N = P(10), 0 < k < 10, e seja r = 10 - k. Então, N = P(10) = P(k + r) =
P(r) + k P'(r) + ...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r), sendo esta ultima formula o
teorema de Taylor. Como os coeficientes de P sao inteiros, os de suas derivadas
tambem o sao.
Como r
eh inteiro, concluimos imediatamente que, se k|P(r) = P(10 - k), entao k|N. E se
k|N, entao P(r) = P(10 - k) = N - P(r) - k P'(r) ...-
...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r) eh dado pela diferenca entre 2 inteiros multiplos
de k. Logo, k|P(10 - k).
Na
realidade, nao precisamos supor que k esteja entre 0 e 10, basta que seja
positivo. E tambm nao temos que noss restringir aa base decimal.
Podemos tambem chegar a estas conclusoes da forma que vc
citou.
Abracos
Artur
Oi, Artur
Seja N
o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o
polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos,
entao, que N = P(10).
Ok
Sendo
0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para
polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 -
k).
Você se refere à série de Taylor?
Não entendi o porque da série de Taylor justificar k | N sss k | P(10-k)
(se for óbvio, não tô "vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a
diferença entre P(10) e P(10-k) é uma "combinação linear inteira" de
expressões 10^p - (10-k)^p que obviamente são divisíveis por k, pois a^p
- b^p tem fator a-b = k).
No
caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e
o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4,
...
Você quis dizer 10^100 - 4,
certamente.
que
vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que
P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6
= (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9 *3^100 - 15)/2 =
(3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um
tanto inútil, mas achei isso legal.
Também
achei legal. Apenas realmente não entendi como você enxergou sua
afirmativa pensando na série de Taylor.
Obrigado pelas
dicas
Abração,
Nehab
Artur
- -----Mensagem original-----
- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [
mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy
Nehab
- Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
- Para: obm-l@mat.puc-rio.br
- Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II
- Oi, Arthur,
- De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui
enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o
Francisco? Pode me explicar melhor ?
- Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando
aritmética modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu
não ví...
- Abração,
- Nehab
- PS:
- O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) ---> 3^96
= 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5
(mod 7).
- At 18:03 15/8/2007, you wrote:
- E como decorrencia disto, segue-se que (3
(3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo?
- Artur
- -----Mensagem original-----
- De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
- Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
- Para: obm-l@mat.puc-rio.br
- Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade
- Oi, Francisco,
- O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6.
- Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando
"módulo". Mas este, em especial, dá pra fazer até
diretamente...
- Solução 1)
- Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves)
terminando com um 6, correto?
- Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando
142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você
terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os
algarismos 9996 para terminar a divisão.
- Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.
- Solução 2)
- Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples
e elegante):
- Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o
número M e seu último algarismo (de N) é r.
- Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por
7.
- Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema
(tente).
- Abraços,
- Nehab
- PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.
- Abraços,
- Nehab
- At 15:39 15/8/2007, you wrote:
- Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ?
-
- Grato.
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