Re: RES: [obm-l] divisibilidade II

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur

> Seja N o número que, na base 10, tem
> representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) =
> a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10).
Ok
> Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o
> teorema de Taylor, particularizado para polinômios, nos mostra que k|N
> se, e somente se, k | P(10 - k).
Você se
refere à série de Taylor?  Não entendi o porque da série de Taylor
justificar k | N sss k | P(10-k)  (se for óbvio, não tô
"vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e
P(10-k)  é uma "combinação linear inteira" de expressões
10^p - (10-k)^p  que obviamente são divisíveis por k, pois a^p - b^p
tem fator a-b = k).
> No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99
> primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este
> numero e 3^100 - 4, ...
Você quis
dizer  10^100 - 4, certamente. 
> que vimos ser divisivel por 7, segue-se que
> P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3
> + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 - 27 + 12)/2
> =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é
> divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso
> legal.

Também achei legal.  Apenas realmente não entendi como você enxergou
sua afirmativa pensando na série de Taylor.

Obrigado pelas dicas

Abração,
Nehab

> Artur

-----Mensagem original-----

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab

Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?

Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética modular.   Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... 

Abração,

Nehab

PS:

O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7). 

At 18:03 15/8/2007, you wrote:

E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo?

Artur

 

 

 

 -----Mensagem original-----

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab

Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,

O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.  

Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...

Solução 1)

Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto?

Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão.

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.

Solução 2)

Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):

Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r.

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.

Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).

Abraços,

Nehab

PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.

Abraços,

Nehab

At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

 

Grato.

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