[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
RES: [obm-l] divisibilidade II
Oi
Carlos,
Vejamos o seguinte
Seja N
o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o
polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao,
que N = P(10). Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor,
particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k |
P(10 - k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes
iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, que
vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3)
= 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 = 9 (3^100 - 3)/2 + 6
= (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9
*3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode
ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal.
Artur
Oi, Arthur,
De
fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a
relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? Pode
me explicar melhor ?
Só consegui ver que 7 divide
3^101 - 5 usando aritmética modular. Acho que você sacou
alguma coisa que eu não ví...
Abração,
Nehab
PS:
O
que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) ---> 3^96 = 1^16 = 1
(mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7).
At 18:03 15/8/2007, you wrote:
E como
decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7.
Certo?
Artur
-----Mensagem original-----
De:
owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de
agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:
Re: [obm-l] divisibilidade
- Oi, Francisco,
- O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6.
- Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando
"módulo". Mas este, em especial, dá pra fazer até
diretamente...
- Solução 1)
- Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves)
terminando com um 6, correto?
- Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando
142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você
terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os
algarismos 9996 para terminar a divisão.
- Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.
- Solução 2)
- Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e
elegante):
- Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M
e seu último algarismo (de N) é r.
- Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por
7.
- Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema
(tente).
- Abraços,
- Nehab
- PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.
- Abraços,
- Nehab
- At 15:39 15/8/2007, you wrote:
- Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ?
- Grato.
- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você
estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se
já!