Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Só para constar: isto me lembra Liouville...

Pensando um pouco, isto é equivalente a
 

\sum {n >=1} (k^{-p(n)}), que é um número composto somente de zeros e unzes na representação k-ária.
Para que um tal número fosse racional, os espaçamentos entre unzes teriam que ser constantes,

mas não são quando o grau de P é maior que 1.

É claro que tem que formalizar, mas esta é a idéia...

 

Em 06/08/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:

> Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar.
>
>
>
> Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau >= 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional.
>
> Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional.
>
> Abracos
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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