Re: [obm-l] Equa��o Funcional

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Ol� Klaus,

vamos provar os seguintes teoremas:
se fog � injetora, entao g tamb�m �
demo: vamos dizer que g(x1)=g(x2) ... aplicando f, temos: f(g(x1)) = f(g(x2))..
como fog � injetora, temos que x1=x2.. logo: se g(x1)=g(x2) temos que
x1=x2... cqd.

se fog � sobrejetora, entao f tambem �
demo: como fog � sobrejetora, temos que para todo y, existe x tal que:
f(g(x)) = y..
logo, para todo y, existe z = g(x), tal que f(z) = y .. logo f �
sobrejetora.. cqd.

na sua questao, temos que ax+b � bijetora, logo, valem ambos os teoremas..
e existe x0, tal que f(x0) = 0 pois f � sobrejetora..

agora, sobre f ser bijetora, vamos ver:
queremos provar que, se f � injetora e fog � bijetora, entao g � sobrejetora..
dos teoremas acima, ja sabemos que g � injetora e f � sobrejetora..
como fog � sobrejetora, temos que para todo y existe x tal que f(g(x)) = y
como f � bijetiva, ela admite inversa e: g(x) = f^-1(y)...
mas f^-1 tambem � bijetiva.. assim, para todo z existe x tal que g(x)
= z.. cqd [realmente, nao sei c a demo esta certa.. peco que os
colegas da lista deem uma olhada]

abracos,
Salhab






On 7/24/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:
>
> Por que quando tenho f(g(x)) = ax+b , a<>0 eu posso garantir que f(x) �
> sobrejetora e g(x) � injetora. E tamb�m que existe x0 tal que f(x0)=0? E por
> que q se f for bijetora g tb �?
> Grato.
>  Flickr agora em portugu�s. Voc� cria, todo mundo v�. Saiba mais.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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