Re: [obm-l] Projeção Ortogonal

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Comentário:  Geometricamente no caso euclidiano, não
é difícil ver que a conclusão é válida,
mesmo
se o espaço tiver dimensão infinita.  Projeções
são conjuntos de coordenadas, cada um desses conjuntos
é um subespaço e pelo teorema do núcleo e da imagem
a soma das dimensões do núcleo e da imagem
dá a dimensão do espaço.  A condição 
|Pv| <= |v| significa que não estão sendo projetadas todas
as coordenadas.
Se as coordenadas são ortogonais então a projeção
é ortogonal e acabou.  O problema é quando as coordenadas
não são ortogonais, ou o espaço é, digamos,
um espaço de funções (dimensão infinita).

francisco medeiros wrote:

Olá Pessoal.

Alguém poderia me ajudar no problema abaixo de álgebra linear?

Problema: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (K=C ou K = R) com produto interno, e seja W um subespaço de V. Prove que se P: V --> V é uma projeção (i.e., PP = P) cuja imagem é W e |Pv| <= |v|, para todo v em V, então P é uma projeção ortogonal em W.

Obs.: Uma Projeção Ortogonal P é uma projeção tal que Ker(P) é ortogonal a Im(P).

Grato desde já,
              Francisco.

PS.: Consigui resolver o problema acima no caso em que W tem dimensão finita!

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