Amigos da lista,
Acho que a solução dada pelo Salhab (abaixo) para o problema do Vitorio apresenta problemas ( verifiquem!!).
Lembrando o enunciado do problema:
Resolver em função do parametro real m a equação na incógnita x real:
sqrt(x) +m = x
Uma sugestão Reescrevendo a equação sqrt(x) +m = x (*)
obtemos sucessivamente as equações equivalentes
[(sqrt(x) )^2 - sqrt(x) + 1/4] =m +1/4
[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)
Note que m+1/4 > = 0, ou seja, m> = - 1/4
é uma condição necessária para que esta equação tenha solução e consequentemente a equação dada (*) tenha também solução.
Nestas condições, obtém-se de (**) :
x= 1/4 , se m = -1/4
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2 ou x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ,se -1/4 < m <=0
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, se m > 0
Portanto, dos resultados acima, conclui-se que o conjunto solução S da equação
sqrt(x) +m = x
é dado por:
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2} , se m = -1/4 ou m > 0 .
Neste caso, a equação tem uma única solução real.
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, (1/2 - sqrt(m+1/4 ) ^2}, se -1/4 < m <=0
Neste caso, a equação tem duas soluções reais.
S = Æ , se m < - 1/4.
PONCE
Nota: Uma outra solução pode ser obtida,observando num sistema de coordenadas cartesianas
os gráficos das funções: f(x) = x e g(x) = sqrt(x) , para x > = 0.
As conclusões acima podem ser obtidas rapidamente.
| Data: |
Wed, 18 Jul 2007 20:53:33 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] demonstrar |
> Olá Vitorio,
>
> sqrt(x) + m = x ...
> sqrt(x) = x - m
>
> elevando ao quadrado, ficamos com:
> x = x^2 - 2xm + m^2
> mas, em sqrt(x) = x - m, temos que ter x >= m ... e qdo elevamos ao
> quadrado, x pode assumir quaisquer valores (que certamente vao
> aparecer e devem ser descartados)..
>
> x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0
>
> digamos que f(x) = x^2 - (2m+1)x + m^2
> veja que f(x) tem concavidade para cima, e que f(m) = m^2 - (2m+1)m +
> m^2 = -(2m+1)
> sabemos que 1*f(m) < 0, implica que m está entre as raizes.. logo,
> temos apenas uma solucao (a direita de m) ... assim: f(m) < 0 ...
> -(2m+1)<0 ... m > -1/2
> assim, para m > -1/2 temos que sqrt(x)+m = x tem apenas uma solucao..
>
> e para m <= -1/2 ?
> vamos ver o delta de f(x)... (2m+1)^2 - 4m^2 = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 = 4m + 1
> para raizes reais, delta >= 0 ... logo: 4m+1 >= 0 .. m > -1/4
> opa.. entao para m <= -1/4, nao temos raizes reais... e -1/2 < -1/4
>
> portanto, só existe solucao para m >= -1/4 ... esta solucao é unica... (cqd)
> note que o exercicio diz x>0, pois qdo m=0, temos que x=0 é raiz..
>
> da pra resolver tb usando um pouquinho de calculo e o fato de que x =
> sqrt(x) tem apenas 2 solucoes (0 e 1)... e que x = sqrt(x) + m é
> apenas uma translacao vertical de x = sqrt(x)..
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/18/07, vitoriogauss wrote:
> >
> > olá moçada....
> >
> > Eu tava lendo o livro do Elon voltado para ensino médio, quando encontrei a
> > seguinte questão:
> >
> > sqrt[x]+2= x...ok...encontrei o resultado, porém fiquei intrigado quanto ao
> > motivo da presença de raízes estranhas.
> >
> > depois me enrolei na sqrt[x]+3=x...ambos os resultados que encontrei valem,
> > porém ele pede para demosntrar que sqrt[x]+m = x só tem um valor para
> > m>0..ou seja, então eu errei ao encontrar dois resultados para
> > sqrt[x]+3=x????????????????
> >
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