[obm-l] Re: Iberoamericana 2004

[JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx]

(Iberoamericana-2004). Considera-se no plano uma
circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
lugar geométrico dos centros das  circunferências que passam por A, M e N
quando M varia.

Tentativa de Solução

      C (centro da circunferência AMN) é o encontro das mediatrizes de MN e
NA.
Quando MN é perpendicular a AO, C estará no médio de AO. Seja P esse médio
fixo.
Se provarmos uma das condições a seguir, então o problema estará acabado.
As condições:
1)    Os ângulos COP e CPA são iguais;
2)    Os ângulos OCP e PCA são iguais;
Seja s a perpendicular a AO por O. COP é igual a MOT. T é uma das
interseções de s com a circunferência de centro O e raio r.
Resta provar que CAO é igual a MOT.
Naturalmente, o LG procurado tem simetria em relação a reta AO. Logo, o LG
contém C´, simétrico de C em relação a AO.
Ora, C´AO é igual a MOT, pois AC´ é perpendicular a MN; e AO, a OT.
Portanto, CAO é igual a MOT.
A reta CC´ é o LG procurado.

Fraternalmente, João.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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