Escreva sua expressão assim:
2*(2^7)^n + 3*(3^2)^n + 5*(5^10)^n + 7*(7^6)^n
Agora simplificamos a expressão observando que
2^4 = 16 = -1 (mod 17) ==> (2^7)^n = (-1)^n * 8^n
3^2 = 9 = -8 (mod 17) ==> (3^2)^n = (-1)^n * 8^n
5^2 = 25 = 8 (mod 17) ==> (5^10)^n = 5^(2*5*n) = (5^2)^5n = 8^5n
8^5 = 64*64*8 = (-4)*(-4)*8 = 16*8 = (-1)*8 = -8 (mod 17)
Assim, (5^10)^n = (-1)^n * 8^n
Adivinhe quanto será (7^6)^n...
7^6 = 343 * 343 = 3 * 3 = 9 = -8 (mod 17) ==> (7^6)^n =
(-1)^n * 8^n
Assim a expressão original é:
(-1)^n*8^n * (2 + 3 + 5 + 7) = (-1)^n*8^n * 17, e portanto é
divisível por 17, para todo n natural!
Abraço
Bruno
2007/6/28, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:
Esta não consegui. Tentei por indução,
complicou. Algúem pode ajudar?
Mostra que
2^(7n+1) + 3^(2n+1) +5^(10n+1) + 7^(6n+1), n =0, 1,2....eh
divisivel por 17.
Abracos
Artur
--
Bruno França dos Reis
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12626000
e^(pi*i)+1=0