RES: [obm-l] Provar que eh divisivel por 17

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Grande, Bruno!

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno Fran�a dos Reis
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 17:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Provar que eh divisivel por 17

Escreva sua express�o assim:

2*(2^7)^n + 3*(3^2)^n + 5*(5^10)^n + 7*(7^6)^n

 

Agora simplificamos a express�o observando que

2^4 = 16 = -1 (mod 17) ==> (2^7)^n = (-1)^n * 8^n

3^2 = 9 = -8 (mod 17) ==> (3^2)^n = (-1)^n * 8^n

5^2 = 25 = 8 (mod 17) ==> (5^10)^n = 5^(2*5*n) = (5^2)^5n = 8^5n

8^5 = 64*64*8 = (-4)*(-4)*8 = 16*8 = (-1)*8 = -8 (mod 17)

Assim, (5^10)^n = (-1)^n * 8^n

Adivinhe quanto ser� (7^6)^n...

7^6 = 343 * 343 = 3 * 3 = 9 = -8 (mod 17) ==> (7^6)^n = (-1)^n * 8^n

 

Assim a express�o original �:

 

(-1)^n*8^n  *  (2 + 3 + 5 + 7) = (-1)^n*8^n * 17, e portanto � divis�vel por 17, para todo n natural!

 

Abra�o

Bruno
 

2007/6/28, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:

Esta n�o consegui. Tentei por indu��o, complicou. Alg�em pode ajudar?

 

 

Mostra que 2^(7n+1) + 3^(2n+1) +5^(10n+1) + 7^(6n+1), n =0, 1,2....eh divisivel por 17.

 

Abracos

Artur 

 

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Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0