Re: [obm-l] Provar que eh divisivel por 17

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Escreva sua expressão assim:

2*(2^7)^n + 3*(3^2)^n + 5*(5^10)^n + 7*(7^6)^n

 

Agora simplificamos a expressão observando que

2^4 = 16 = -1 (mod 17) ==> (2^7)^n = (-1)^n * 8^n

3^2 = 9 = -8 (mod 17) ==> (3^2)^n = (-1)^n * 8^n

5^2 = 25 = 8 (mod 17) ==> (5^10)^n = 5^(2*5*n) = (5^2)^5n = 8^5n

8^5 = 64*64*8 = (-4)*(-4)*8 = 16*8 = (-1)*8 = -8 (mod 17)

Assim, (5^10)^n = (-1)^n * 8^n

Adivinhe quanto será (7^6)^n...

7^6 = 343 * 343 = 3 * 3 = 9 = -8 (mod 17) ==> (7^6)^n = (-1)^n * 8^n

 

Assim a expressão original é:

 

(-1)^n*8^n  *  (2 + 3 + 5 + 7) = (-1)^n*8^n * 17, e portanto é divisível por 17, para todo n natural!

 

Abraço

Bruno
 

2007/6/28, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:

Esta não consegui. Tentei por indução, complicou. Algúem pode ajudar?

 

 

Mostra que 2^(7n+1) + 3^(2n+1) +5^(10n+1) + 7^(6n+1), n =0, 1,2....eh divisivel por 17.

 

Abracos

Artur 

 

-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0