Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Ponce,

Adorei, mas depois neguinho te chama de velho e você não pode
reclamar.  Mas que tavam complicando ah... lá isto isto
tavam........  Método de Newton (acho que tinha um tal de Raphson
também, ou tô caduco?), ora pipocas, como diria minha velha...

Grandes abraços,
Nehab 

At 11:30 16/6/2007, you wrote:

Ola' pessoal,
queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta do recado, antes que o XP entre no ar...:-)

Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho !

Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao "bem comportada" y=f(x) , a aplicacao sucessiva de
  x2 = x1 - y1/ f'(x1)
a partir de um ponto "x1" , que esteja "na vizinhanca" de uma raiz de f(x) , nos leva 'a propria raiz.
Considerando nossa funcao
 y=2^x - x^2
temos que
 x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x )

Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1.
Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 .
Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536
Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.76666491 , e na quarta iteracao x2=-0.766664696 .
Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma calculadora barata...

[]'s
Rogerio Ponce


Érica Gualberto Pongelupe <proferica@ig.com.br> escreveu:

Oi Todo mundo

use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.

Abração

Érica

Oi, Arthur (e Julio),

Você esqueceu que x pode ser negativo.  Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x  e você veráque obviamente há uma raiz negativa.... (entre -1 e 0).

Abraços,

Nehab

At 11:08 15/6/2007, you wrote:

Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e.  A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0).  Concluimos assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.

 

Serah que hah outras raizes complexasnao reais?

 

Artur

 

 

 

 

 

 

 -----Mensagem original-----

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Julio Sousa

Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Assunto: [obm-l] 2^x = x^2

achar as raízes de 2^x = x^2

--

Atenciosamente

Home Page: rumoaoita.com

Júlio Sousa

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