Oi, Arthur (e Julio),
Voc� esqueceu que x
pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, fa�a um
grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e voc� ver�que
obviamente h� uma raiz negativa.... (entre -1 e
0).
Abra�os,
Nehab
At 11:08 15/6/2007, you
wrote:
Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta
agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente
se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao
definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1
-ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A
esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos
mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*)
= 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e
estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua,
que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. Isso
implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo,
1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e,
0). Concluimos assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao
ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 <>
1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e
4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.
Serah que hah
outras raizes complexasnao reais?
Artur
-----Mensagem original-----
De:
owner-obm-l@mat.puc-rio.br[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de
2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:
[obm-l] 2^x = x^2
- achar as ra�zes de 2^x = x^2
- --
- Atenciosamente
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- J�lio Sousa
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