Re: [obm-l] COMBINATÓRIA

On 6/2/07, Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@yahoo.com.br> wrote:

Ola' Graciliano,
Na questao 1 repare que o conjunto {1,...,150} pode ser separado nos subconjuntos
{3,6,9,...,150} , {2,5,8,...,149} e {1,4,7,...,148} ,
cada um com 50 elementos que sao iguais a 0,1 ou 2 em modulo 3.

Se os numeros podem ser repetidos, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3, que pode ser 0, 1 ou 2.
Entao existem 3 * 50^3 / 3! formas de serem escolhidos, ou seja,
62.500 modos

Acredito que o modo como o Rafael descreveu o problema esteja correto. Na conta que você passou, 3 * 50^3 / 3! , seria escolher 50*50*50 pois os elementos podem repetir, dividido por 3! para considerar apenas uma forma entre eles (ABC é igual a ACB, por exemplo), multiplicado por 3 que é a quantidade de conjuntos (0mod3, 1mod3 e 2mod3).

Mas suponha por exemplo que só existisse um conjunto {3} e podemos repetir a escolha. Só existe uma forma que é 3+3+3. Se utilizassemos a conta que você fez seria 1 * 1^3 / 3! que não é igual a 1.

Me corrija se estiver errado.

b) eles tem valores diferentes em modulo 3, que sao exatamente 0, 1 e 2.
Entao existem 50^3 = 125.000 formas de escolhe-los.
Total: 125.000 + 62.500 = 187.500 modos

Se os numeros sao diferentes entre si, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3.
Entao existem 3 * C(50,3) = 3*50*49*48 / (3*2*1) = 58.800 combinacoes
b) eles tem valores diferentes em modulo 3
Entao existem 50^3 = 125.000 modos de escolhe-los.
Total: 58.800 + 125.000 = 183.800 modos

[]'s
Rogerio Ponce

Graciliano Antonio Damazo <bissa_damazo@yahoo.com.br> escreveu:

Caros amigos da lista, encontrei dificuldade em calguns exercicios de contagem nos meus estudos e peço a ajuda de voces para sanar minhas duvidas. Ai vão elas:

1) De quantos modos podemos escolher tres numeros, não necessariamente distintos, no conjunto {1,2,...,150} de modo que a soma dos numeros escolhidos seja divisivel por 3? E se os numeros fossem distintos?

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