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Re: [obm-l] COMBINATÓRIA
Ola' Henrique,
e' verdade, papei mosca!
O correto e' considerarmos "combinacoes com repeticao", de modo que a solucao fica assim:
--------
O conjunto {1,...,150} pode ser separado nos subconjuntos
{3,6,9,...,150} , {2,5,8,...,149} e {1,4,7,...,148} ,
cada um com 50 elementos que sao iguais a 0,1 ou 2 em modulo 3.
Se os numeros podem ser repetidos, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3, que pode ser 0, 1 ou 2, isto e',
estao todos em um mesmo subconjunto.
Entao existem 3 * Cr(50,3) formas de serem escolhidos, ou seja,
3 * C(52,3) = 3*52*51*50/(3*2*1) = 66.300 modos
b) eles tem
valores diferentes em modulo 3, que sao exatamente 0, 1 e 2,
isto e', cada um esta' em um subconjunto diferente dos outros.
Entao existem 50^3 = 125.000 formas de escolhe-los.
Total: 125.000 + 66.300 = 191.300 modos
Se os numeros sao diferentes entre si, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3, e estao no mesmo subconjunto.
Entao existem 3 * C(50,3) = 3*50*49*48 / (3*2*1) = 58.800 combinacoes
b) eles tem valores diferentes em modulo 3, e cada um pertence
a um subconjunto diferente dos outros.
Entao existem 50^3 = 125.000 modos de escolhe-los.
Total: 58.800 + 125.000 = 183.800 modos
[]'s
Rogerio Ponce
Henrique Rennó <henrique.renno@gmail.com>
escreveu: Olá Rogério!
On 6/2/07, Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@yahoo.com.br> wrote: Ola' Graciliano,
Na questao 1 repare que o conjunto {1,...,150} pode ser separado nos subconjuntos
{3,6,9,...,150} , {2,5,8,...,149} e {1,4,7,...,148} ,
cada um com 50 elementos que sao iguais a 0,1 ou 2 em modulo 3.
Se os numeros podem ser repetidos, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3, que pode ser 0, 1 ou 2.
Entao existem 3 * 50^3 / 3! formas de serem
escolhidos, ou seja,
62.500 modos
Acredito que o modo como o Rafael descreveu o problema esteja correto. Na conta que você passou, 3 * 50^3 / 3! , seria escolher 50*50*50 pois os elementos podem repetir, dividido por 3! para considerar apenas uma forma entre eles (ABC é igual a ACB, por exemplo), multiplicado por 3 que é a quantidade de conjuntos (0mod3, 1mod3 e 2mod3).
Mas suponha por exemplo que só existisse um conjunto {3} e podemos repetir a escolha. Só existe uma forma que é 3+3+3. Se utilizassemos a conta que você fez seria 1 * 1^3 / 3! que não é igual a 1.
Me corrija se estiver errado.
b) eles tem valores diferentes em modulo 3, que sao exatamente 0, 1 e 2.
Entao existem 50^3 = 125.000 formas de
escolhe-los.
Total: 125.000 + 62.500 = 187.500 modos
Se os numeros sao diferentes entre si, entao:
a) eles tem o mesmo valor em modulo 3.
Entao existem 3 * C(50,3) = 3*50*49*48 / (3*2*1) = 58.800 combinacoes
b) eles tem valores diferentes em modulo 3
Entao existem 50^3 = 125.000 modos de escolhe-los.
Total: 58.800 + 125.000 = 183.800 modos
[]'s
Rogerio Ponce
Graciliano Antonio Damazo <bissa_damazo@yahoo.com.br> escreveu: Caros amigos da lista, encontrei dificuldade em calguns exercicios de contagem nos meus estudos e peço a ajuda de voces para sanar minhas duvidas. Ai vão elas:
1) De quantos modos podemos escolher tres numeros, não necessariamente distintos, no conjunto {1,2,...,150} de modo que a soma dos numeros escolhidos seja divisivel por 3? E se os numeros fossem distintos?
--
Henrique
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