RES: [obm-l] Apostol - Continuidade

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

a) A condicao dada eh a condicao de Lipschitz, no caso com constatnte 1. De modo geral, f eh Lipschitz se existir uma constante positiva k tal que |f(u) - f(v)| <= k|u-v| para todos u e v do intervalo. Para todo eps >0, se escolhermos d = eps/k, entao, para todos u e v do intervalo que satisfacam a |u - v | < d, temos |f(u) - f(v)| < k eps/k = eps, o que mostra que f e nao apena continua, mas uniformemente continua no intervalo.  

b)Sendo continua em [a, b], f eh automaticamente integravel em [a, b]. Isto nao eh hipotese, mas conclusao. 

Para todo x de [a, b], temos que |(integral de a ate b f(u)du) - (b-a)f(x)| = |(integral de a ate b (f(u) - f(x)) du| <= integral de a ate b |(f(u) - f(x)| du. Pela condicao de Lipschitz, |(f(u) - f(x)| <= |u -x| =>  integral de a ate b |(f(u) - f(x)| du <= integral de a ate b |u-x| dx. Vemos facilmente que esta integral eh uma funcao quadratica de x na qual o coeficiente de x^2 eh negativo e simetrico  com relacao ao eixo vertical x = (a + b)/2. Assim o maximo ocorre nos extremos do intevalo, para x= aou x =b, pois sao simetricos com relacao ao eixo. Para todo x de [a, b] temos portanto que  |(integral de a ate b f(u)du) - (b-a)f(x)|<= Inte (a, b) |u - a| du = Int (a,b) (u-a) du = (b^2 - a^2)/2 - a(b -a)= (b^2 - a^2 -2ab + 2a^2)/2 = (b^2 - 2ab + b^2)/2= (b -a)^2, que eh a desigualdade procurada.


Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Adriano Torres
Enviada em: domingo, 27 de maio de 2007 01:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Apostol - Continuidade


Seja f uma função tal que |f(u) - f(v)| <= |u-v|, para todo u e v no 
intervalo [a,b].
a)Prove que f é continua em cada ponto de [a,b]
b)Considerando f integrável em [a,b], prove que

|(integral de a ate b f(x)dx) - (b-a)f(x)| <= ((b-a)^2)/2

Valeu pela ajuda. Esse livro é tenso!

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