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Re:[obm-l] Isometria

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re:[obm-l] Isometria
From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Fri, 18 May 2007 10:01:07 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria

> >Ola Claudio.
>  De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
> exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
> T(0)=0. 

Pode-se sim. 

Suponha que T(0) = a <> 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha comprimento inferior a 2 - eps.

(Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai depender da norma usada. Por exemplo, com a norma 
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse 
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.)

Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.

T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 
|T(b) - T(-b)| = 
|b - (-b)| = 
2|b| =
2 - eps ==> 
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos que isso.

Logo, nao podemos ter a <> 0.

***

O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e |b_n| = 1 - 1/(2n), 
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma realizacao concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2), cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >= 4.

***

> Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
> 
> Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n }
> Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
>  e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
> mostrar que C = {T(0)}  e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
>  A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
>

De fato, mais sofisticada do que a minha...


[]s,
Claudio.
 
> 
>  Oi, Rivaldo:
> >
> > Voce admite que se T eh isometria, entao:
> > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
> >
> > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
> > Seja T(0) = a.
> > Seja b um ponto qualquer de B.
> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> > Entao:
> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
> > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b|   (**)
> >
> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
> > que:
> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
> >
> > O que isso significa pro seu contra-exemplo?
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
> >
> >  Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
> > R^2, tomando   b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
> >  temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
> > o centro de um  segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
> >
> > Abs.
> >
> >  Rivaldo
> >
> >
> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >>
> >> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Cópia:
> >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
> >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >>
> >>> > Claudio, imagine no R^2,  T(0,0)=(0,1/2)= a  e  b_n = (1 - 1/(2n),0)
> >>> dai
> >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
> >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
> >>>
> >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
> >> a
> >> B.
> >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
> >> (0,0),
> >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
> >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
> >> raiz(3).
> >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
> >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >>
> >>> Abs.
> >>>
> >>>
> >>>   Rivaldo.
> >>>
> >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
> >>> nem
> >>> > precisa ter um limite.
> >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
> >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
> >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
> >>> a
> >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
> >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 >
> >>> raiz(1
> >>> > - |a|^2).
> >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
> >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
> >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
> >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
> >>> > inferior a a.
> >>> >
> >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
> >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
> >>> > T eh uniformemente continua ==>
> >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
> >>> seja
> >>> > uniformemente continua em fecho(B).
> >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
> >>> fecho(B).
> >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
> >>> >
> >>> > []s,
> >>> > Claudio.
> >>> >
> >>> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >>> >
> >>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> > Cópia:
> >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
> >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >>> >
> >>> >> >
> >>> >>
> >>> >> Ola Claudio.
> >>> >>  Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
> >>> >>  B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
> >>> uma
> >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
> >>> sequencia
> >>> >> ainda esta em B.
> >>> >>
> >>> >>    Abs.
> >>> >>
> >>> >>  Rivaldo.
> >>> >>
> >>> >>
> >>> >> Tem razao. Mancada minha...
> >>> >> >
> >>> >> > O problema eh provar que:
> >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
> >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
> >>> >> >
> >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
> >>> >> >
> >>> >> > Seja T(0) = a.
> >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
> >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
> >>> >> > Entao:
> >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
> >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
> >>> >> > Alem disso,
> >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> >>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
> >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
> >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
> >>> >> >
> >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
> >>> 1/(2n).
> >>> >> > Nesse caso:
> >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
> >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
> >>> contido
> >>> >> em B.
> >>> >> >
> >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
> >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
> >>> >> comprimento
> >>> >> > 2 eh a origem.
> >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
> >>> poderah
> >>> >> ser o
> >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
> >>> >> > Conclusao: a = 0.
> >>> >> >
> >>> >> > Acho que agora foi...
> >>> >> >
> >>> >> > []s,
> >>> >> > Claudio.
> >>> >> >
> >>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >>> >> >
> >>> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> >> > Cópia:
> >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
> >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >>> >> >
> >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >>> >> >> >
> >>> >> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>> >> >> > Cópia:
> >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
> >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
> >>> >> >> >
> >>> >> >> >> >Ola Claudio.
> >>> >> >>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
> >>> >> precisariamos
> >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b,
> >>> a,
> >>> >> >> -b
> >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
> >>> >> >>
> >>> >> >>    Abs.
> >>> >> >> >>
> >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
> >>> >> >> >>    Provar que T(0)=0.
> >>> >> >> >>
> >>> >> >> >
> >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos
> >>> em
> >>> >> >> relacao
> >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
> >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
> >>> >> >> >
> >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade
> >>> triangular
> >>> >> >> estrita:
> >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
> >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
> >>> >> >> > 2|b| =
> >>> >> >> > |2b| =
> >>> >> >> > |b - (-b)| =
> >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
> >>> >> >> >
> >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
> >>> >> >> >
> >>> >> >> > []s,
> >>> >> >> > Claudio.
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> >>> >> >> >
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> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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