[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re:[obm-l] Isometria

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re:[obm-l] Isometria
From: rbdantas@xxxxxxxxxxxxxx
Date: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
Importance: Normal
In-Reply-To: <JI8MTV$25DACED9CC64FA1955D7EB81CED5BEDF@multidominios>
References: <JI8MTV$25DACED9CC64FA1955D7EB81CED5BEDF@multidominios>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
User-Agent: SquirrelMail/1.4.6
> Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-----B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
B sem tomar um exemplo particular.

Abs.


Rivaldo.


---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>
>> >Ola Claudio.
>>  De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
>> exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
>> T(0)=0.
>
> Pode-se sim.
>
> Suponha que T(0) = a <> 0.
> Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
> comprimento inferior a 2 - eps.
>
> (Se a <> 0, entao um tal eps > 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
> depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
> euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
> e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
> diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) < 2 - eps, desde que eps < |a|^2, pois
> raiz(1 - |a|^2) < 1 - |a|^2/2 < 1 - eps/2.)
>
> Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
> Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
>
> T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
> Mas:
> |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> |T(b) - T(-b)| =
> |b - (-b)| =
> 2|b| =
> 2 - eps ==>
> contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
> que isso.
>
> Logo, nao podemos ter a <> 0.
>
> ***
>
> O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
> |b_n| = 1 - 1/(2n),
> T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
> contradominio tambem eh B.
> Se o enunciado falasse de uma isometria T:B -> R^2, entao uma realizacao
> concreta do seu contra-exemplo seria:
> T(x,y) = (x,y+1/2).
> Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
> cuja norma seria:
> raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) > 1, se n >= 4.
>
> ***
>
>> Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
>>
>> Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n }
>> Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
>>  e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
>> mostrar que C = {T(0)}  e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
>>  A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
>>
>
> De fato, mais sofisticada do que a minha...
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>>
>>  Oi, Rivaldo:
>> >
>> > Voce admite que se T eh isometria, entao:
>> > T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
>> >
>> > Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
>> > Seja T(0) = a.
>> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> > Entao:
>> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
>> > |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b|   (**)
>> >
>> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
>> ==>
>> > igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
>> implica
>> > que:
>> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >
>> > O que isso significa pro seu contra-exemplo?
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >  Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
>> no
>> > R^2, tomando   b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
>> >  temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
>> necessariamente
>> > o centro de um  segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>> >
>> > Abs.
>> >
>> >  Rivaldo
>> >
>> >
>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >>
>> >> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> Cópia:
>> >> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
>> >> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >>
>> >>> > Claudio, imagine no R^2,  T(0,0)=(0,1/2)= a  e  b_n = (1 -
>> 1/(2n),0)
>> >>> dai
>> >>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> >>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
>> um
>> >>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>> >>>
>> >> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
>> pertence
>> >> a
>> >> B.
>> >> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
>> a
>> >> (0,0),
>> >> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
>> >> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
>> >> raiz(3).
>> >> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
>> >> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a
>> B.
>> >>
>> >> []s,
>> >> Claudio.
>> >>
>> >>> Abs.
>> >>>
>> >>>
>> >>>   Rivaldo.
>> >>>
>> >>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
>> >>> nem
>> >>> > precisa ter um limite.
>> >>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
>> >>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
>> >>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode
>> ter
>> >>> a
>> >>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
>> >>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 >
>> >>> raiz(1
>> >>> > - |a|^2).
>> >>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
>> >>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
>> seja a
>> >>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
>> >>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
>> >>> > inferior a a.
>> >>> >
>> >>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
>> >>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
>> >>> > T eh uniformemente continua ==>
>> >>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao
>> resultante
>> >>> seja
>> >>> > uniformemente continua em fecho(B).
>> >>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
>> >>> fecho(B).
>> >>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|)
>> tenha.
>> >>> >
>> >>> > []s,
>> >>> > Claudio.
>> >>> >
>> >>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >>> >
>> >>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> > Cópia:
>> >>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
>> >>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >>> >
>> >>> >> >
>> >>> >>
>> >>> >> Ola Claudio.
>> >>> >>  Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
>> >>> >>  B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se
>> tomarmos
>> >>> uma
>> >>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
>> >>> sequencia
>> >>> >> ainda esta em B.
>> >>> >>
>> >>> >>    Abs.
>> >>> >>
>> >>> >>  Rivaldo.
>> >>> >>
>> >>> >>
>> >>> >> Tem razao. Mancada minha...
>> >>> >> >
>> >>> >> > O problema eh provar que:
>> >>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
>> >>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>> >>> >> >
>> >>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
>> >>> >> >
>> >>> >> > Seja T(0) = a.
>> >>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> >>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> >>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
>> >>> >> > Entao:
>> >>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
>> >>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
>> >>> >> > Alem disso,
>> >>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
>> >>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
>> >>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
>> >>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >>> >> >
>> >>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
>> >>> 1/(2n).
>> >>> >> > Nesse caso:
>> >>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
>> >>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
>> >>> contido
>> >>> >> em B.
>> >>> >> >
>> >>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
>> >>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
>> >>> >> comprimento
>> >>> >> > 2 eh a origem.
>> >>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
>> >>> poderah
>> >>> >> ser o
>> >>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
>> >>> >> > Conclusao: a = 0.
>> >>> >> >
>> >>> >> > Acho que agora foi...
>> >>> >> >
>> >>> >> > []s,
>> >>> >> > Claudio.
>> >>> >> >
>> >>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >>> >> >
>> >>> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> >> > Cópia:
>> >>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
>> >>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >>> >> >
>> >>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>> >> >> > Cópia:
>> >>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>> >>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> >> >Ola Claudio.
>> >>> >> >>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
>> >>> >> precisariamos
>> >>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter
>> b,
>> >>> a,
>> >>> >> >> -b
>> >>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
>> >>> >> >>
>> >>> >> >>    Abs.
>> >>> >> >> >>
>> >>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma
>> isometria.
>> >>> >> >> >>    Provar que T(0)=0.
>> >>> >> >> >>
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b,
>> simetricos
>> >>> em
>> >>> >> >> relacao
>> >>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>> >>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade
>> >>> triangular
>> >>> >> >> estrita:
>> >>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>> >>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>> >>> >> >> > 2|b| =
>> >>> >> >> > |2b| =
>> >>> >> >> > |b - (-b)| =
>> >>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> > []s,
>> >>> >> >> > Claudio.
>> >>> >> >> >
>> >>> >> >> >
>> >
>> >
>> >
>> > =========================================================================
>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > =========================================================================
>> >
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
>>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
References:
- Re:[obm-l] Isometria
  - From: claudio\.buffara
Prev by Date: Re: [obm-l] Olímpiada. Nível 2. Fase 3.
Next by Date: [obm-l] Re:[obm-l] [obm-l] Combinatória: número de soluções de uma equação
Prev by thread: Re:[obm-l] Isometria
Next by thread: [obm-l] Congruência - Dúvida
Index(es):
- Date
- Thread