[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re:[obm-l] Isometria

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re:[obm-l] Isometria
From: rbdantas@xxxxxxxxxxxxxx
Date: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Importance: Normal
In-Reply-To: <JI5V8L$C424EB1634BCF36FB3A11E3358D05D85@multidominios>
References: <JI5V8L$C424EB1634BCF36FB3A11E3358D05D85@multidominios>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
User-Agent: SquirrelMail/1.4.6
>Ola Claudio.
 De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0. Abaixo segue a demostração que T(0)=0.

Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|<1/n } e B_n = {x em B/ |x|<1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
 e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)}  e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
 A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .

  Abs.

  Rivaldo.



 Oi, Rivaldo:
>
> Voce admite que se T eh isometria, entao:
> T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
>
> Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
> Seja T(0) = a.
> Seja b um ponto qualquer de B.
> O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> Entao:
> |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
> |T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b|   (**)
>
> |T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
> que:
> T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>
> O que isso significa pro seu contra-exemplo?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>  Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
> R^2, tomando   b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
>  temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
> o centro de um  segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>
> Abs.
>
>  Rivaldo
>
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>>
>> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Cópia:
>> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
>> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>>
>>> > Claudio, imagine no R^2,  T(0,0)=(0,1/2)= a  e  b_n = (1 - 1/(2n),0)
>>> dai
>>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
>>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>>>
>> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
>> a
>> B.
>> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
>> (0,0),
>> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
>> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
>> raiz(3).
>> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
>> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>> Abs.
>>>
>>>
>>>   Rivaldo.
>>>
>>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
>>> nem
>>> > precisa ter um limite.
>>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
>>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
>>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
>>> a
>>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
>>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 >
>>> raiz(1
>>> > - |a|^2).
>>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
>>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
>>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
>>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
>>> > inferior a a.
>>> >
>>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
>>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
>>> > T eh uniformemente continua ==>
>>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
>>> seja
>>> > uniformemente continua em fecho(B).
>>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
>>> fecho(B).
>>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
>>> >
>>> > []s,
>>> > Claudio.
>>> >
>>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>>> >
>>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> > Cópia:
>>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
>>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>>> >
>>> >> >
>>> >>
>>> >> Ola Claudio.
>>> >>  Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
>>> >>  B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
>>> uma
>>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
>>> sequencia
>>> >> ainda esta em B.
>>> >>
>>> >>    Abs.
>>> >>
>>> >>  Rivaldo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> Tem razao. Mancada minha...
>>> >> >
>>> >> > O problema eh provar que:
>>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
>>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>>> >> >
>>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
>>> >> >
>>> >> > Seja T(0) = a.
>>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
>>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
>>> >> > Entao:
>>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
>>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
>>> >> > Alem disso,
>>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
>>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
>>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
>>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>>> >> >
>>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
>>> 1/(2n).
>>> >> > Nesse caso:
>>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
>>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
>>> contido
>>> >> em B.
>>> >> >
>>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
>>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
>>> >> comprimento
>>> >> > 2 eh a origem.
>>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
>>> poderah
>>> >> ser o
>>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
>>> >> > Conclusao: a = 0.
>>> >> >
>>> >> > Acho que agora foi...
>>> >> >
>>> >> > []s,
>>> >> > Claudio.
>>> >> >
>>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>>> >> >
>>> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >> > Cópia:
>>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
>>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>>> >> >
>>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>>> >> >> >
>>> >> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >> >> > Cópia:
>>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
>>> >> >> >
>>> >> >> >> >Ola Claudio.
>>> >> >>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
>>> >> precisariamos
>>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b,
>>> a,
>>> >> >> -b
>>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
>>> >> >>
>>> >> >>    Abs.
>>> >> >> >>
>>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
>>> >> >> >>    Provar que T(0)=0.
>>> >> >> >>
>>> >> >> >
>>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos
>>> em
>>> >> >> relacao
>>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>>> >> >> >
>>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade
>>> triangular
>>> >> >> estrita:
>>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>>> >> >> > 2|b| =
>>> >> >> > |2b| =
>>> >> >> > |b - (-b)| =
>>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>>> >> >> >
>>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>>> >> >> >
>>> >> >> > []s,
>>> >> >> > Claudio.
>>> >> >> >
>>> >> >> >
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
References:
- Re:[obm-l] Isometria
  - From: claudio\.buffara
Prev by Date: Re:[obm-l] Isometria
Next by Date: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau
Prev by thread: Re:[obm-l] Isometria
Next by thread: Re:[obm-l] Isometria
Index(es):
- Date
- Thread