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Re:[obm-l] Isometria

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re:[obm-l] Isometria
From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Wed, 16 May 2007 22:09:57 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Oi, Rivaldo:

Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?

Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b|   (**)

|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.

O que isso significa pro seu contra-exemplo?

[]s,
Claudio.




 Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando   b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
 temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um  segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.

Abs.

 Rivaldo


---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>
>> > Claudio, imagine no R^2,  T(0,0)=(0,1/2)= a  e  b_n = (1 - 1/(2n),0)
>> dai
>> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
>> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
>> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>>
> Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a
> B.
> Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
> (0,0),
> T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
> Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
> raiz(3).
> Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
> Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
>
> []s,
> Claudio.
>
>> Abs.
>>
>>
>>   Rivaldo.
>>
>> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
>> > precisa ter um limite.
>> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
>> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
>> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
>> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
>> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 >
>> raiz(1
>> > - |a|^2).
>> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
>> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
>> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
>> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
>> > inferior a a.
>> >
>> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
>> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
>> > T eh uniformemente continua ==>
>> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
>> seja
>> > uniformemente continua em fecho(B).
>> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
>> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >
>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Cópia:
>> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >
>> >> >
>> >>
>> >> Ola Claudio.
>> >>  Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
>> >>  B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
>> uma
>> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
>> sequencia
>> >> ainda esta em B.
>> >>
>> >>    Abs.
>> >>
>> >>  Rivaldo.
>> >>
>> >>
>> >> Tem razao. Mancada minha...
>> >> >
>> >> > O problema eh provar que:
>> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
>> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>> >> >
>> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
>> >> >
>> >> > Seja T(0) = a.
>> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
>> >> > Entao:
>> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
>> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
>> >> > Alem disso,
>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
>> >> > igualdade na desigualdade triangular,
>> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
>> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >> >
>> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
>> 1/(2n).
>> >> > Nesse caso:
>> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
>> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
>> contido
>> >> em B.
>> >> >
>> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
>> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
>> >> comprimento
>> >> > 2 eh a origem.
>> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
>> poderah
>> >> ser o
>> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
>> >> > Conclusao: a = 0.
>> >> >
>> >> > Acho que agora foi...
>> >> >
>> >> > []s,
>> >> > Claudio.
>> >> >
>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
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>> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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>> >> > Cópia:
>> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
>> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >> >
>> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >> >
>> >> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> >> > Cópia:
>> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
>> >> >> >
>> >> >> >> >Ola Claudio.
>> >> >>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
>> >> precisariamos
>> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b,
>> a,
>> >> >> -b
>> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
>> >> >>
>> >> >>    Abs.
>> >> >> >>
>> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
>> >> >> >>    Provar que T(0)=0.
>> >> >> >>
>> >> >> >
>> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos
>> em
>> >> >> relacao
>> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>> >> >> >
>> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
>> >> >> estrita:
>> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>> >> >> > 2|b| =
>> >> >> > |2b| =
>> >> >> > |b - (-b)| =
>> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>> >> >> >
>> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>> >> >> >
>> >> >> > []s,
>> >> >> > Claudio.
>> >> >> >
>> >> >> >



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