Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Rafael,

Você não deveria ter aberto mão de ir da esquerda para a direita para
tentar preservar ao máximo os algarismos em ordem
decrescente.   Note que é possível você ter 98765abcd0  e
ajeitar  o 4, 3, 2 e 1 para obter o múltiplo de 8 e 11.  Assim,
se eu também não me distrai, 9.876.513.240 deve ser o maior.

Abraços,
Nehab

PS: Este problema é mais simples que outro que já caiu Olimpíada de Maio
de 2003 (e não me engano) e cuja solução também usa uma certa "força
bruta":  qual o menor múltiplo (naturalmente positivo) de 56
cuja soma dos algarismos é 56 e que termina em 56... 

At 18:44 16/5/2007, you wrote:

Oi
Não ficou muito formal mas acho que consegui achar o numero. Deem uma confirida pra ver se está tudo certo.
Seja n o numero: n deve ser divisivel por 5, 8 e 11. Pra ser por 5 deve acabar em 5 ou 0. Mas pra ser por 8 deve ser par. Logo acaba em 0.
Como os algarismos devem ser distintos vamos tentar colocar os menores algarismos perto do 0 pra n ser o maior possivel.
Fazendo n terminar em 210 não é divisivel por 8. Invertendo a ordem temos: n termina em 120. Isso faz n ser divisivel por 8.
Vamos tentar colocar os outros algarismos: tentando o maior possivel temos n = 9.876.543.120. Mas pra ser divisivel por 11 a soma dos
algarismos de ordem impar subtraida da soma dos algarismos de ordem par deve ser divisivel por 11. Nesse caso: 26-19=7 e n não é o procurado.
Vamos tentar fazer essa subtração ser divisivel por 11. Veja que o modo mais facil é igualar ao proprio 11. Pra isso precisamos trocar alguns algarismos
para mudar suas ordens. Pra achar o maior numero começamos a fazer isso pela direita: invertendo o 4 com o 3. Assim aumentamos pra 9 a diferença.
Trocamos mais uma vez, agora 6 com 5. Devemos ter o numero desejado: n = 9.875.634.120

----- Original Message -----

From: Artur Costa Steiner

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Wednesday, May 16, 2007 2:39 PM

Subject: RES: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11

Também naop consegui achar o máximo de A

-----Mensagem original-----

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis

Enviada em: quarta-feira, 16 de maio de 2007 13:39

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Assunto: Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11

0 pertence a A, logo A é não vazio

9876543210 é cota superior de A.

A é fechado (pois é formado apenas por pontos isolados).

Assim temos que A admite máximo.

 

Agora, como achar esse máximo, sem usar força bruta, não estou conseguindo!

 

Podemos determinar o maior múltiplo comum de 5, 8 e 11 menor do que 9876543210 facilmente, chamêmo-lo k. Se k pertence a A, acabou. Senão, queremos então achar n tal que:

(5*8*11) * n = 440n <= k

e

440n possua apenas algarismos distintos

 

Dá pra fazer certas observações (imediatas) que reduzem em muito o número de testes que

teríamos que fazer, mas deve ter alguma solução não braçal que nao consigo encontrar!

 

Abraço

Bruno

 

2007/5/16, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br >:

Gostaria de uma sugestão neste problema de teoria dos numeros

Seja A o conjunto dos multiplos comuns de 5, 8, 11 compostos por algarismos distintos (base 10, conforme usual). A tem um elemento máximo? Se tiver, qual?

Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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Bruno França dos Reis

email: bfreis - gmail.com

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e^(pi*i)+1=0