Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

[Bruno Carvalho <brunomostly@xxxxxxxxxxxx>]

Arthur e demais amigos da lista. mais uma vez agradeço a atenção e a consideração de vocês.

 

Muito obrigado.

 

Um abraço grande.

 

Bruno

 

Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:

Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.

 

Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange

 

Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos

 

1 - L y^2 z^3 =0

1 - 2L xy z^3 =0

1 - 3L x y^2 z^2 =0

 x.y^2.z^3 - 864 = 0 

 

Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem

 

1 - 2 x/y = 0 => y = 2x

 

1 - 3x/z = 0 => z = 3x

 

Substituindo na ultima, vem entao

 

x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2)

 

Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano).  Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana.

 

Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil

 

Artur

 

 

 

 

l

 

 

 

[Artur Costa Steiner] 

 sagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo

Peço ajuda na resolução do seguinte problema.

 

Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ?

 

Opções:

a)6 raiz de 2

b)4raiz de três

c)9

d)6raiz de três.

 

Desde já agradeço a ajuda.

 

Bruno

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