Re: [obm-l] equação do terceiro grau

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, May 14, 2007 at 07:25:33PM -0300, b059218@dac.unicamp.br wrote:
> Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0

Considere a equação y^2 - (1/8) y + (1/64) = 0
que tem raízes complexas
y1 = (1 + sqrt(-3))/16 = (1/8) exp(pi i/3),
y2 = (1 - sqrt(-3))/16 = (1/8) exp(-pi i/3).
Note que y1+y2 = 1/8, y1*y2 = 1/64.

Seja
x = y1^(1/3) + y2^(1/3) = (exp(pi i/9) + exp(-pi i/9))/2
= cos(pi/9) ~= 0.9396926208.
Temos
x^3 = y1 + 3 y1^(2/3) y2^(1/3) + 3 y1^(1/3) y2^(2/3) + y2
= (y1 + y2) + 3 (y1^(1/3) + y2^(1/3)) (y1*y2)^(1/3)
= (1/8) + (3/4) x
donde x satisfaz a equação inicial.

Este é um exemplo de uma técnica geral.
Para resolver x^3 + px + q considere a equação y^2 + qy - p^3/27 = 0.

As outras raízes são
cos(7*pi/9) ~= -0.7660444431
e
cos(13*pi/9) ~= -0.1736481773
que correspondem às outras raízes cúbicas de y1 e y2.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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