[obm-l] Ajuda em teoria de medidas

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Gostaria que algum dos colegas me ajudasse com o seguinte:

Seja (X, M , u) um espaco de medidas. X um conjunto, M uma sigma-algebra definida em X e u uma medida definida em M. Seja (f_n) uma sequencia de funcoes definidas em X e com valores nos reais expandidos nao negativos tal que lim f_n = f. Se lim Int f_n du = Int f du < oo, entao, para todo E de M, temos que lim Int_E f_n du = Int_E f du (com a convencao usual de que Int_E significa integral sobre E e Int, sem referencia ao conjunto, significa integral sobre todo o espaco X).

Eu consegui mostrar isso, eh consequencia do lema de Fatou, e vale mesmo que a convergencia nao seja dominada por uma funcao integravel (se adicionarmos esta hipotese, a conclusao eh imediata, a partir do teorema da convergencia dominada). Mas estou tentando achar um exemplo que mostre que a a hipotese de que  Int f du < oo eh essencial, o qual ainda nao achei. Isto eh, dar um exemplo de uma sequencia f_n tal que lim f_n = f, lim Int f_n du = Int f du = oo e para a a qual exista um conjunto E de M tal que a condicao lim Int_E f_n du = Int_E f du nao se verifique. Neste tipo de problema ha frequentemente frequentemente uma solucao tipo ovo de Colombo. Depois que alguem faz, aparece um chato dizendo Era soh isso? Assim eu tambem fazia... 

Abracos
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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