O objetivo deste problema
insere-se em um outro, qual seja, mostrar que, se um conjunto A de R^n tem
medida de Lebesgue positiva, entao A - A = { a1 - a2 | a1 e a2 estao em
A} contem uma bola centrada na origem. Eu conheco uma demonstracao para isso
que ateh apresentei aqui a pedido de alguem. Mas estava tentando uma
demosnstracao alternativa que me parece mais simples:
Como todo conjunto de
medida positiva contem um subconjunto de medida positiva finita, basta
considerar este ultimo caso. Defininamos f:R^n --> R por f(x) =
m(A inter A + x). Suponhamos provado (o que nao fiz....) que f eh
continua. Como f(0) = m(A inter A) = m(A) >0, existe uma bola
aberta B centrada em 0 (origem) na qual f eh estritamente positiva. Se x
esta em B, f(x) >0, o que implica que A e A +x se intersectam
(o vazio tem medida nula), existindo assim a1 tal que a1 esta em A e em
A + x. Desta ultima pertinencia, segue-se que existe a2 em A tal
que a1 = a2 + x. Logo, x =a1 - a2 com a1 e a2 em A, o que significa que
x esta em A - A. Logo, B estah contida em A - A, completando a
prova.
Parece bem mais simples que
a outra prova que conheco, supondo-se, eh claro, demonstrado que f eh
continua. Um top dog americano nao provou isso pra mim, mas disse Oh,
that's trivial. Mas como o que eh trivial para um pode ser
completamente obscuro para outro....
Artur
Olá Artur!
Não tenho conhecimento do assunto relacionado a
esse problema. Daria muito trabalho se você tentasse explicar com um pouco
de detalhes qual a lógica de resolução da questão. O que é uma medida de
Lebesgue? Como é feita essa translação de conjunto por elemento (A por x)?
Seja A um subconjunto de R^n com m(A)
< oo, onde m eh a medida de Lebesgue. Para x em R^n, seja A +
x = {a + x | a estah em a} a translacao de A por x e seja
f(x) = m(A inter (A + x)).
Estou querendo mostrar que f eh continua m R^n. Ainda nao
consegui, alguem pode dar uma sugestao? (a conclusao eh sabidamente
verdaeira)
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Henrique