RES: [obm-l] Mostra que f eh continua

On 4/27/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br > wrote:

OI Henrique. Obrigado pelo interesse.

Eu teria o maximo prazer em compartilhar o que conheco disso, mas o assunto eh um tanto extenso para explicar aqui. Exige os fundamentos da teoria de medidas. Eh necessario que se estude em um livro.

Basicamente, eh o seguinte. Se A eh um conjunto qualquer, dizemos que uma colecao de M de conjuntos de A eh uma sigma-algebra definida em A se:

Essa coleção M seria de conjuntos de A mesmo ou subconjuntos de A???
[Artur Costa Steiner]

De subconjuntos de A, melhor dizendo

1) A e o conjunto vazio estao em M.

2) Se C esta em M, entao o complementar de C tambem estah

C seria um subconjunto de M ou seria um conjunto qualquer??? O complementar de C seria em relação a M???
[Artur Costa Steiner]

Nao. C eh um subconjunto de A. O complementar e com relacao a A. Por exemplo, o conjunto das partes de4 um conjunto eh, trivialmente, uma sigma-algebra, a maior que se pode definir

3) A uniao de qualquer colecao enumeravel de membros de M esta em M (pelas Leis de De Morgan, 2 e 3 isto implicam que o mesmo se verifique para interseccoes enumeraveis)

Coleção enumerável de membros de M seria um subconjunto da coleção M (isso não seria recursivo)??? As leis de De Morgan seriam c(A U B) = c(A) inter c(B) e c(A inter B) = c(A) U c(B), qual a ligação com as coleções enumeráveis???
[Artur Costa Steiner]

Sim, uma subcolecao enumeravel de M. Pode tambem ser vista como uma sequencia de elementos de M ou como uma sequencia de subconjuntos de A

Dizemos que uma funcao m, definida em M e com valores em [0, oo] isto eh, os reais nao negativos expandidos, eh uma medida em M se m satisfizer a

1) m(A) >= 0 para todo A de M (o que jah se deduz do contradominio de m)

2) Para todo colecao enumeravel A_n de conjuntos disjuntos 2 a 2 de M, m(Uniao A_n) = Soma m(A_n) (propriedade conhecida por sigma-aditividade)

A medida de Lebesgue, valida para os espacos vetorias Euclidianos, incluindo os complexos, eh definida da seguinte forma:

Para cada cobertura enumeravel, (C_n), de A, composta por celulas (intervalos, retangulos, paralelelpipedos...dependendo de n) abertas de R^n, seja I = Soma (L(C_n), onde L(C-n) eh o comprimeto de C_n n no caso da reta real, a area no caso de R^2, o volume no caso de R^3, etc. A medida exterior de Lebesgue de A, m(A), eh definida por infimo {I}, onde o infimo eh computado sobre a colecao de todas as coberturas C_n. Quando o conjunto A satisfaz a algumas condicoes especiais, diz-se que eh mensuravel e e sua medida entao confunde-se com sua medida exterior.

Bem, só me confundi nessa parte!
[Artur Costa Steiner]

Se vc tiver interesse nisso, rtecomendo Bartle, The elements of Integration and Measure Theory. Excelente! Nao esgota o assunto, mas intrduz a teoria de medidas com muita clareza.