Re: [obm-l] terceira fase, nivel 2, 2005

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá,

1 + 2 + 3 + ... + 2005 = (1 + 2005)*2005/2 = 1003 * 2005

lembramos que:
a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1) + ba^(n-2) + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))
temos:
a^n + b^n = (a+b)(a^(n-1) - ba^(n-2) + ... - ab^(n-2) + b^(n-1))

fazendo a + b = 2006, n = 2005, temos:
a^2005 + b^2005 = 2006*[(a^2004 - ba^2003 + ... - ab^(n-2) + b^2004)]

notemos que:
1 + 2005 = 2006
2 + 2004 = 2006
3 + 2003 = 2006
:
:

opa.. entao:
1^2005 + 2^2005 + ... + 2005^2005

1^2005 + 2005^2005 = 2006 * [(a^2004 - ba^2003 + ... - ab^(n-2) + b^2004)]
e assim por diante..
colocando 2006 em evidencia, temos:

2006 * [ ... ] + 1003^2005 = 1003 * [ 2*(...) + 1003^2004 ]
assim, o numero eh divisivel por 1003
falta mostrarmos que ainda eh divisivel por 2005

mdc(2005, 1003) = mdc(1003, 1002) = mdc(1002, 1) = 1
opa.. sao primos relativos.. vamos analisar a expressao original entao:

temos que mostrar que 2005 divide: 1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005
opa.. usando a mesma ideia do 2006, vamos ter: 2005 * [ ... ].. logo,
eh divisivel por 2005

como eles sao primos relativos e 2005 e 1003 dividem o numero, entao:
1+2+3+...+2005 tbem divide!

espero que nao tenha ficado mto confuso,
abracos,
Salhab

On 4/9/07, Renato Sidnei <residnei@yahoo.com.br> wrote:
> Questão da Obm do ano de 2005 para nivel de 5a. a 8a. série
>
>
> PROBLEMA 5
> Prove que o número 1^2005+2^2005+3^2005+...+2005^2005 é
> múltiplo de 1+2+3+...+2005.
>
>
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