Re: [obm-l] terceira fase, nivel 2, 2005

["Ronaldo Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

 

   Olá Marcelo:

 

2006 * [ ... ] + 1003^2005 = 1003 * [ 2*(...) + 1003^2004 ]
assim, o numero eh divisivel por 1003
falta mostrarmos que ainda eh divisivel por 2005

 

 Ok, você somou as igualdades e colocou o 2006 em evidência, mas

daqui para frente ficou confuso, pelo menos para mim.  Será que não tem

como fazer por congruência?  Estava tentado isso agora pouco.  Mas sua solução está

bem legal.   Estava tentando seguir essa linha sua mas achei complicado. 

Cara ... vc pensa rápido mesmo ! 

 

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mdc(2005, 1003) = mdc(1003, 1002) = mdc(1002, 1) = 1
opa.. sao primos relativos.. vamos analisar a expressao original entao:

temos que mostrar que 2005 divide: 1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005
opa.. usando a mesma ideia do 2006, vamos ter: 2005 * [ ... ].. logo,
eh divisivel por 2005

como eles sao primos relativos e 2005 e 1003 dividem o numero, entao:
1+2+3+...+2005 tbem divide!

espero que nao tenha ficado mto confuso,
abracos,
Salhab

On 4/9/07, Renato Sidnei <residnei@yahoo.com.br> wrote:
> Questão da Obm do ano de 2005 para nivel de 5a. a 8a. série
>
>
> PROBLEMA 5
> Prove que o número 1^2005+2^2005+3^2005+...+2005^2005 é
> múltiplo de 1+2+3+...+2005.
>
>
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> Renato Sidnei
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.