Re:[obm-l] Problema de algebra vetorial.

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Ronaldo:

Chame de u o vetor de coordenadas (x1,y1,z1) e de v o segundo vetor.
Gire os seus eixos coordenados de modo que as coordenadas de u passem a ser (0,0,L) e as de v (L*sen(theta),0,L*cos(theta)).
Ou seja, u gera o novo eixo z e {u,v} gera o novo plano xz.
Ao girar v de um angulo phi em torno do eixo de u, voce obterah um vetor w cujas coordenadas na base nova serao:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*cos(theta)*cos(phi))
O ponto desejado eh P = u+w, de coordenadas:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*(1+cos(theta)*cos(phi))

Agora soh falta calcular a matriz A (Aij) de mudanca de coordenadas.
Como os novos eixos coordenados tambem sao mutuamente ortogonais e os modulos dos vetores das coordenadas nao mudam, A 
eh uma matriz ortogonal.
Dado um vetor x qualquer, cujas coordenadas numa dada base sao dadas por [x]_base, teremos:
[x]_velha = A*[x]_nova
[u]_velha = (x1,y1,z1)   e   [u]_nova = (0,0,L) ==>
x1 = A13*L; x2 = A23*L; x3 = A33*L ==>
A13 = x1/L; A23 = x2/L; A33 = x3/L (cossenos diretores de (x1,x2,x3)).

O enunciado implica que: 
[v]_velha = (k*x1,k*y1,z); |u| = |v| = L; <u,v> = L^2*cos(theta)
Com essas tres relacoes e conhecendo A13, A23 e A33, voce acha k e z e, portanto, [v]_velha.
Isso permite que voce ache A11, A21 e A31 (a 2a. coordenada de [v]_nova eh igual a zero)

Finalmente, usando o fato de que A eh ortogonal, voce acha A21, A22 a A23.

O que voce quer eh [P]_velha = A*[p]_nova.

Admito que eh bracal, mas nao achei outra forma.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Tue, 13 Mar 2007 15:10:02 -0300
Assunto: [obm-l] Problema de algebra vetorial.

>    O problema abaixo parece simples mas está me consomindo um bocado
> de tempo e não consigo enxergar uma forma rápida de resolver.  Se alguém
> puder me ajudar eu agradeço.
> 
> Problema:   Um vetor, de módulo L,  cujo ponto inicial está localizado na
> origem
>  e cujo ponto final tem coordenadas em  (x1,y1,z1)  forma um ângulo theta
> com outro
> vetor de mesmo módulo partindo de sua extremidade.  A projeção deste segundo
> vetor no plano xy
> tem a mesma diração do primeiro vetor.
> 
>    Se fizermos uma rotação de ângulo phi em torno do eixo definido pelo
> primeiro vetor,
> quais serão as coordenadas (x2,y2,z2) do segundo vetor em função de
> x1,x2,x3, L, theta e phi ?
> 
> 


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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