Boa tarde Ricardo,
Nao sou a pessoa certa pra dizer se essa estrategia esta totalmente
certa, mas é verdade que ela é bem interessante. Vou pegar algumas
equacoes de 4 grau que eu conheco as raizes e comecar a brincar com
elas usando a estrategia que voce ensinou.
Obrigado.
PS: A duvida continua... li o conceito do lema de gauss.
Definitivamente ele nao é um algoritmo de fatoracao.
Porque ele ele foi usado entao como justificativa para a fatoracao do polinomio
x^4-10x^2+x+20=0 para p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5) ???
On 2/16/07, Ricardo J.F. <ricgjf@ibest.com.br> wrote:
> Oi Rafael e demais colegas da lista,
>
>
>
> Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara
> conseguiu
>
> Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que
> utilizou
>
> O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com
> isso pois
>
> Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas
> observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão
> totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias
> conseguimos resolver questões interessantes,veja:
>
>
>
>
>
> P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
>
>
>
> P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
>
>
>
> (i) b.d = a_0
>
>
>
> (ii)a+c=a_3
>
> (iii)ac=a_2-(d+b)
>
>
>
> delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2
>
>
>
> De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0
>
>
>
> Para auxiliar observe os exemplos:
>
>
>
> .............................
>
> Exemplo1:IME-04/05-questão4
>
> x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0
>
>
>
> {b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6}
>
>
>
> delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12) vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado
> perfeito {d,b}={-2,-9}
>
> temos o sistema:
>
> a+c=-2 =>{a,c}={0,-2}
>
> ac=0
>
>
>
> P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =>-2b=18 =>b=-9 logo d=-2
>
> E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2)
>
> ..........................
>
> Exemplo2: IME-04/05-questão4
>
>
>
> x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0
>
> {b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13}
>
>
>
> delta=4(d+b+80) => não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que
> 4(d+b+80)seja quadrado perfeito
>
> ................................
>
> Exemplo3:IME-05/06-questão2
>
> P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10
>
> {b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5}
>
>
>
> delta=4[(d+b)-6] pra ser q.perf=> {b,d}={2,5}
>
>
>
> a+c=-6 =>{a,c}={-4,-2}
>
> ac=8
>
>
>
> p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) => -4d-2b=-18 => 2d+b=9 => d=2, b=5
>
> p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2)
>
> ..........
>
> Exemplo4:IME-01/02-questão9
>
> sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
>
>
>
> elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau:
>
>
>
> x^4-10x^2+x+20=0
>
>
>
> {b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5}
>
>
>
> cuidado quando a_3=0!
>
>
>
> a+c=a_3=0
>
> ac=a_2-(b+d)
>
>
>
> temos: a^2-Soma.a+Produto=0 => a^2=-P
>
>
>
> ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito
>
>
>
> ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0=>{a,c}={-1,1}
>
>
> ac=-1
>
>
>
> p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =>-d+b=1 =>d=-5 , b=-4
>
> p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5)
>
>
>
> Abraços,Ricardo J.F.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Rafael" <rfa1989@gmail.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM
> Subject: Re: [obm-l] lema de gauss
>
>
> > Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na
> > fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do
> > jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4
> > grau que "pelo lema de gauss" vira uma fatoracao de dois polinomios de
> > grau2. Como assim ???
> >
> > Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem
> > falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou
> > familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia
> > e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em
> > algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um
> > exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie.
> >
> > Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do
> > exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é?
> >
> > P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de
> > de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a
> > desenvolver o sistema.
> >
> >
> > Obrigado
> >
> > On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> wrote:
> >> Olá,
> >>
> >> observe que, se 5-x = x^2, temos:
> >>
> >> sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x
> >>
> >> resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2
> >>
> >> queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2
> >>
> >> espero ter ajudado,
> >> abraços,
> >> Salhab
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >> From: "Rafael" <rfa1989@gmail.com>
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM
> >> Subject: [obm-l] lema de gauss
> >>
> >>
> >> Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos
> >> assim:
> >>
> >> sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
> >>
> >> Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a
> >> questao.
> >>
> >> O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda:
> >> Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco
> >> que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ???
> >>
> >> Obrigado
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> >> Rafael
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