[obm-l] Re: [obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e Napoleao]

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Nehab,

Os problemas a que você está se referindo são os de
construir o triângulo dados 3 pontos. Isto será tema
de um outro estudo para o qual já estou pensando e
coletando dados.

Assim sua lista pode considerar o problema <A,G,I>
(e outros derivados como <A,I,M_a>) resolvido com
solução geométrica "pura", enquanto que o <H,I,O>
(e outros derivados) está resolvido no sentido de
não ser possível a construção com régua e compasso.
No entanto, dá pra se falar muito deste problema (pra
começar, dá pra construir os raios R e r) pois muitos
pontos notáveis podem ser construídos. E também,
coisa interessante, há uma elipse inscrita no triângulo
com focos O e H se todos os ângulos são agudos.
E por aí vai.

Prefiro também os problemas com solução geométrica "pura",
mas às vezes não consigo fugir da solução algébrica ou analítica.
A maioria dos problemas de construção dados ângulos e segmentos
possui tal solução.

Dois que gosto: <a,h_a,d_a> e <h_a,h_b,d_c> (este é difícil).
Tem uma solução no livro alemão e outra no do Posamantier
(não estou certo da grafia). A solução usando
d_c sen(C/2)/h_a = h_b/(h_a+h_b) não vale.

Por outro lado, ainda procuro uma deste tipo para
<A,m_a,r> e <A,m_a,r_a>. Não sei se tem. Tem uma
usando álgebra e o poder de fatoração do Mathematica pra
recair num polinômio do segundo grau e uma outra por
GA onde aparece a interseção de uma reta com uma
parábola.

Já escrevi muito de novo.

[]'s
Luís

>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e  
>Napoleao]
>Date: Thu, 15 Feb 2007 10:44:41 -0200
>
>Oi, Luís
>
>Embora sem poder dedicar muito tempo para isto, estou mapeando os 
>exercícios de construções geométricas no triângulo em níveis de 
>aprendizagem (em 3 niveis) pois de fato, uns são imediatos mas outros ainda 
>são problemas em aberto.
>
>Minhas referências centrais continuam sendo os artigos publicados no 
>Mathematics Magazin - do William Wernick  (1982), que listou 139 problemas 
>e do Leroy F. Meyers (1996), que complementou algumas soluções (não sei 
>quantos dos problemas estão em aberto - parece que são uns 20).
>
>Mas meu interesse é desenvolver nos alunos "o olhar geométrico", e então 
>prefiro enfatizar os problemas com solução geométrica "pura", evitando os 
>que usam soluções por Geometria Analítica ou usando provas indiretas de 
>"não construtividade" (usando Gauss, ou suas conseqüências)
>
>Quanto ao prof Astyages Brasil (acho difícil haver duas pessoas com este 
>nome)  não o conheço pessoalmente, mas há pouco tempo dei de cara numa 
>livraria com um livro (possivelmente o que você soube que ele publicou), 
>com no máximo umas 100 páginas em que o referido professor apresenta "3 
>demonstrações" do último teorema de Fermat.  Logo... (é raro de acontecer, 
>mas este é um livro que não eu li e não gostei...).  Vide 
>http://www.papelvirtual.com.br/sitenovo/detalhes_produto2.asp?IDProduto=1058
>
>Quanto ao problema que você propôs (o problema 25 do Wernick) - que 
>prometeu a solução ...
>
>"Construir com régua e compasso um  triângulo dados o lado a ; a mediana m 
>relativa ao lado a  e a bisetriz interna d relativa ao lado"
>
>não consegui uma solução simples e fui atrás de sua dica (lá vi a solução) 
>e de fato é muito engenhosa e dificilmente eu a encontraria.
>
>Abraços,
>Nehab
>
>At 14:30 14/2/2007, you wrote:
>>Sauda,c~oes,
>>
>>Oi Nehab,
>>
>>Este teu email é o gancho pra mandar o problema e
>>a solução abaixo.
>>
>>==========
>>rhombus (losange) construction
>>Posted by: "Lu?s Lopes" qed_texte@hotmail.com qedtexte
>>Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST))
>>
>>Dear Hyacinthists,
>>
>>Construct a rhombus given a line and any four points
>>so that a diagonal is parallel to the line and each side
>>goes through one of those four points.
>>
>>"Mr. Smith" presented me this problem yesterday and
>>told me it has been given as an assignment in 1963.
>>And that he is still looking for a solution!
>>
>>As his memory may fail and I don't want to lose time
>>in an ill problem I would like to have your opinion
>>about it.
>>
>>Best regards,
>>Luis
>>
>>Dear Luis,
>>
>>Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on
>>opposite sides of the rhombus.
>>
>>Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter
>>from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same 
>>side
>>line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side
>>line and hence the directions of all the sides.
>>
>>Best regards,
>>Vladimir
>>
>>O Vladimir é da Rússia e lá eu acho que o DG faz parte
>>do currículo.
>>
>>O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil.
>>Só conheci o Brasil recentemente, mas já ouvi dizer
>>que ele foi um excelente professor de geometria e
>>afins. Talvez você possa falar um pouco a respeito dele.
>>
>>Soube que ele publicou um livro recentemente.
>>
>>Quem me propôs o problema ontem foi o xxx
>>(encontrei-me ontem com ele pela primeira vez).
>>Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema
>>num teste. Ele viu na tela do meu computador a figura
>>da solução do problema <a,h_a,m_b> e se deteve perto
>>de mim (assim do nada) pra me dizer que recentemente
>>tinha resolvido um problena de DG. A conversa avançou e
>>ele quer dizer pro Brasil que conseguiu resolvê-lo.
>>
>>Por essas e outras não consigo entender por que o DG
>>foi retirado do currículo. E agora com os programas de
>>desenho deveria voltar.
>>
>>O problema <a,h_a,m_b> de construir o triângulo com
>>estes dados é fácil. Um outro <A,m_a,d_a> d_a=bissetriz
>>interna é bem interessante e legal.
>>
>>Conheço umas 4 soluções para ele. A solução sintética que
>>apareceu num periódico é muito elegante. Recai no
>>problema <A,a,d_a>, um clássico. A solução com GA
>>(do <A,m_a,d_a>) permite o uso de diversos conceitos,
>>a começar pela dedução do lugar geométrico dos pontos
>>médios dos segmentos determinados pelas interseções das
>>retas que passam pelo pé (D_a) da bissetriz com os lados
>>do triângulo.
>>Num sistema conveniente isto dá uma hipérbole (cônicas,
>>outro assunto que poderia reaparecer num tratamento
>>geométrico como o da apostila do Célio Pinto) de vértices
>>A e D_a e assíntotas paralelas aos lados do ângulo no
>>vértice A. A interseção com o círculo (A,m_a) resolve o
>>problema.
>>
>>Conheço tb a solução sintética de um livro alemão que
>>vou mostrar num livro que estou escrevendo.
>>
>>Podemos pensar no problema com a bissetriz externa
>>também.
>>
>>Outro problema interessante é <a,m_a,d_a>. Vou
>>colocar a solução sintética (a essência da geometria)
>>do prof. Paul Yiu que apareceu num jornal eletrônico
>>(ForumGeometricorum) recentemente.
>>
>>Caraca, não quero ganhar o concurso de quem faz o
>>mais longo email.
>>
>>[]'s
>>Luís
>>
>>>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
>>>Date: Wed, 14 Feb 2007 13:04:33 -0200
>>>
>>>Oi Claudio,
>>>
>>>Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos colegas, 
>>>pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha praia mais 
>>>amada)  do que sobre problemas em Matemática (que hoje é apenas um 
>>>passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me encanto aprendendo 
>>>com vocês).
>>>
>>>Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da 
>>>"pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o Napoleao... 
>>>uhmmm não sei quem era mais doente, não)...
>>>
>>>Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade dos 
>>>complexos para matar  problemas em geometria vem de uma preocupação 
>>>anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior  :-)
>>>
>>>Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em "enxergar" geometria 
>>>(uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até 
>>>para desenhar um cubo em perspectiva).    Talvez a razão se origine lá 
>>>atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e 
>>>Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo.   A 
>>>cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá.
>>>
>>>Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um pouco 
>>>de homologia eram técnicas usadas para "matar" geometricamente inúmeros 
>>>problemas e desenvolver nossa capacidade de "ver"  geometricamente.   
>>>Hoje, embora haja inúmeros textos bem escritos sobre todos estes 
>>>assuntos, a maioria não possui o desejado viés puramente geométrico.
>>>
>>>Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante disponível na 
>>>Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites que você mencionou: 
>>>são MUITO bons  (  www.cut-the-knot.org e  www.nrich.maths.org  ) mas o 
>>>trabalho escolar sobre os temas praticamente desapareceu.
>>>
>>>Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola formal.  Depois 
>>>neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do cérebro da galera 
>>>- o que não se usa atrofia, né - e os neurônios não usados vão pro 
>>>beleléu :-).
>>>
>>>É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner (um 
>>>craque) ...
>>>
>>>Abraços,
>>>Nehab
>>
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