Re: [obm-l] Numeros Irracionais

[Bené <bene@xxxxxxxxxxxx>]

O Prof. Ivan Niven, infelizmente, já faleceu.
Benedito

----- Original Message ----- 
From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <carlos@nehab.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 11, 2007 10:33 PM
Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais


> Oi,  jovem Claudio,
>
> Textos muito bem escritos, hein (já dei uma boa paquerada).  Ótima dica e 
> de minha parte, obrigadíssimo.  Atualizou dois "coroas":  eu e o  Ivan 
> Niven...:-)
>
> Grande abraço,
> Nehab
>
> PS: Só ficou uma dúvida:  você foi da turma do Rogério Ponce ou é mais 
> "jovem"...?
>
>
> At 22:34 11/2/2007, you wrote:
>>Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e 
>>transcendentes:
>>http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
>>
>>O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado 
>>pelo Nicolau.
>>Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de 
>>Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n
>>= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
>>Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe isso 
>>eh o justamente incentivo que faltava...
>>
>>[]s,
>>Claudio.
>>
>>---------- Cabeçalho original -----------
>>
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Cópia:
>>Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
>>Assunto: [obm-l] Off topic
>>
>> > Oi Nicolau,
>> >
>> > Eu não ia perder esta oportunidade...
>> >
>> > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno
>> > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam
>> > sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples
>> > "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo
>> > você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)
>> >
>> > Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior
>> > e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto...   Eu
>> > acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo
>> > estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...
>> >
>> > Abraços
>> > Nehab
>> >
>> > PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar
>> > mico, é melhor não se manifestar, hein...
>> >
>> > At 08:02 10/2/2007, you wrote:
>> > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
>> > > >
>> > > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
>> > > > racional?
>> > >
>> > >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
>> > >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é 
>> > >algébrico.
>> > >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
>> > >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
>> > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
>> > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
>> > >
>> > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
>> > >com os a_i distintos e os A_i não nulos então
>> > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
>> > >
>> > >Suponha x algébrico, x não nulo.
>> > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
>> > >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
>> > >Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
>> > >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
>> > >contradizendo o teorema.
>> > >
>> > >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
>> > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
>> > >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros 
>> > >parecidos
>> > >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
>> > >
>> > >[]s, N.
>> > >=========================================================================
>> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > >=========================================================================
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>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> >
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.36/681 - Release Date: 11/2/2007
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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