[obm-l] Numeros Irracionais

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e transcendentes:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html

O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado pelo Nicolau.
Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n 
= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe isso eh o justamente incentivo que faltava...

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
Assunto: [obm-l] Off topic

> Oi Nicolau,
> 
> Eu não ia perder esta oportunidade...
> 
> Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno 
> racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam 
> sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples 
> "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo 
> você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)
> 
> Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior 
> e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto...   Eu 
> acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo 
> estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...
> 
> Abraços
> Nehab
> 
> PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar 
> mico, é melhor não se manifestar, hein...
> 
> At 08:02 10/2/2007, you wrote:
> >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> > >
> > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
> > > racional?
> >
> >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
> >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é algébrico.
> >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
> >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
> >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
> >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
> >
> >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
> >com os a_i distintos e os A_i não nulos então
> >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
> >
> >Suponha x algébrico, x não nulo.
> >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
> >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
> >Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
> >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
> >contradizendo o teorema.
> >
> >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
> >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
> >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros parecidos
> >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
> >
> >[]s, N.
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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