Re: [obm-l] Numeros Irracionais

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi,  jovem Claudio,

Textos muito bem escritos, hein (já dei uma boa paquerada).  Ótima 
dica e de minha parte, obrigadíssimo.  Atualizou dois "coroas":  eu e 
o  Ivan Niven...:-)

Grande abraço,
Nehab

PS: Só ficou uma dúvida:  você foi da turma do Rogério Ponce ou é 
mais "jovem"...?


At 22:34 11/2/2007, you wrote:
>Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais 
>e transcendentes:
>http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
>
>O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele 
>citado pelo Nicolau.
>Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de 
>Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n
>= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
>Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe 
>isso eh o justamente incentivo que faltava...
>
>[]s,
>Claudio.
>
>---------- Cabeçalho original -----------
>
>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Cópia:
>Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
>Assunto: [obm-l] Off topic
>
> > Oi Nicolau,
> >
> > Eu não ia perder esta oportunidade...
> >
> > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno
> > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam
> > sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples
> > "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo
> > você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)
> >
> > Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior
> > e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto...   Eu
> > acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo
> > estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...
> >
> > Abraços
> > Nehab
> >
> > PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar
> > mico, é melhor não se manifestar, hein...
> >
> > At 08:02 10/2/2007, you wrote:
> > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> > > >
> > > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
> > > > racional?
> > >
> > >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
> > >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é algébrico.
> > >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
> > >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
> > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
> > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
> > >
> > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
> > >com os a_i distintos e os A_i não nulos então
> > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
> > >
> > >Suponha x algébrico, x não nulo.
> > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
> > >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
> > >Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
> > >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
> > >contradizendo o teorema.
> > >
> > >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
> > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
> > >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros parecidos
> > >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
> > >
> > >[]s, N.
> > >=========================================================================
> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >=========================================================================
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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