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Re: [obm-l] Divisibilidade por um primo
�timo trabalho CArlos!!
Eu iria fazer isso que vc fez mas economizou meu
trabalho, por enquanto.
S�o realmente interessentes esses m�todos
de divisibilidade.
Depois olho com mais calma, se achar mais n�o hesite
em me informar.
Abra�os.
--- Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
escreveu:
> Oi, gente,
>
> Em 22/dez Palmerim postou um m�todo curioso para
> divisibilidade por
> 7 e dois dias depois, Salhab o justificou.
>
> Agora que surgiu tempo ai vai o resultado de minha
> navegada pela
> internet (onde se encontra, naturalmente o problema
> proposto pelo
> Palmerim em
> http://www.pims.math.ca/pi/current/page30-30.pdf e
> um
> crit�rio geral para divisibilidade por um primo
> arbitr�rio (procurei
> na nossa lista e n�o encontrei a discuss�o que se
> segue; desculpem-me
> se j� rolou tal discuss�o e eu n�o percebi). H�
> v�rios sites
> interessantes mas o mais objetivo que encontrei e
> simples para a
> garotada � http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
>
> � importante lembrar que h� v�rios m�todos para
> divisibilidade por 7,
> um m�todo para divisibilidade por 7, 11 e 13, que
> usa o fato de 7 x
> 11 x 13 = 1001, um m�todo do Gustavo Gerald Toja
> Frachia (Instituto
> de Matem�tica da USP) citado na Wikipedia e tamb�m
> no link
> http://www.cut-the-knot.org (um de meus sites
> preferidos).
>
> Ai vai um resumo para facilitar a vida dos mais
> jovens, em portugu�s
> :-) de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
>
> Seja N um inteiro, r seu �ltimo d�gito e M o n�mero
> formado pelos
> algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249,
> ent�o r = 9 e M = 324).
>
> a) Exemplo preliminar: divibilidade 17
> N � divis�vel por 17 se e somente (sss) M - 5r
> tamb�m � divis�vel por 17.
>
> Exemplos: a | b significa a divide b
> 17 | 2343 sss 17 | ( 234 - 5x3) sss 17 | 219 sss
> 17 | 21 - 5x9
> sss 17 | -24; logo, 2343 n�o � divis�vel por 17,
> pois 17 n�o divide -24;
> 17 | 15912 sss 17 | (1591 - 5x2) ss 17 | 1581 sss
> 17 | (158 -
> 5x1) sss 17 | 153 sss 17| (15 - 5x3) sss 17
> | 0; logo, 17 | 15912
>
> � interessante observar que este m�todo possui uma
> quantidade de
> passos proporcional ao n�mero de algarismos de N.
>
> b) Caso geral
> Se p � primo, seja q o menor m�ltiplo positivo de p
> terminado em 1 ou
> 9 (observe que no caso p = 17 tem-se q = 51).
>
> O crit�rio geral �:
> i) Se o �ltimo d�gito de q = 1: p | N sss p | M -
> ar , onde a � o
> n�mero que sobra de q quando tiramos o 1 (no caso de
> 17, o 5);
> ii) Se o �ltimo d�gito de q = 9: p | N sss p | M
> + (a+1) r , onde
> a � o n�mero que sobra de q quando tiramos o 9;
>
> Veja a tabela abaixo, onde indicamos nesta ordem, o
> primo p, o valor
> de q, o valor de a e a propriedade...
> p q a p | N sss p divide...
> 7 21 1 M - 2r
> 11 11 1 M - r
> 13 39 3 M + (3+1)r = M + 4r
> 17 51 5 M - 5r
> 23 69 6 M + (6+1)r = M + 7r
> 29 29 2 M + (2+1)r = M + 3r
> 31 31 3 M - 3r
> 37 111 11 M - 11r
> 41 41 4 M - 4r
> 43 129 12 M + 13r
> 47 141 14 M - 14r
> ...
>
> A demonstra��o geral � simples mas � interesante
> para a turma mais
> jovem fazer a demonstra��o de um dos casos
> particulares (p = 13 ou
> 17, etc). Finalizando, exibo um outro crit�rio de
> divisibilidade por
> 7 para n�meros maiores que 1000 que utiliza menos
> passos que o
> crit�rio anterior:..
> Seja N > 1000 e escrevamos N como (R.S) onde S � o
> n�mero formado
> pelos 3 �ltimos d�gitos de N e R o numero formado
> pelos anteriores a
> eles (por exemplo, se N = 3245123 ent�o R = 3245 e
> S = 123. O
> crit�rio � trivial e a demonstra��o, simples: 7 | N
> sss 7 | R - S
>
> Seria interessante investigar a generaliza��o deste
> crit�rio para
> outros primos....
>
> Abra�os,
> Nehab
>
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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"O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo.
O que h� � pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
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