Acho que a hipotese da Sandra quanto aa convergencia de Soma (1/a_n)^2 estah certa. Suponhamos que Soma(n>=1) 1/(a_n + c) convirja e seja k conforme citado no enunciado. A diferenca entre as sequencias das somas parciais de (1/(a_n + k) e 1/(a_n + c) eh a sequencia das somas parciais de 1/(a_n + k) - 1/(a_n + c) = (c-k)/((a_n +k)*(a_n+c)) . Como Soma(n>=1) 1/(a_n + c) converge, lim 1/(a_n + c) = 0 => |a_n +c| -> oo => |a_n| -> oo, de modo que para n suficientemente grande temos |a_n| >0 e (a_n +k)*(a_n+c) > 0 => 1/((a_n +k)*(a_n+c)) >0 . Alem disto, lim 1/(a_n^2)/(1/(a_n +k)*(a_n+c) ) = lim ((a_n +k)*(a_n+c))/(a_n)^2 = 1
>0. Pelo teste do limite, temos que as series Soma 1/(a_n^2) e Soma ((a_n +k)*(a_n+c)) sao ambas convergente ou ambas divergentes. dada que a primeira, por hipotese, eh convergente, temos que a segunda tambem eh, o que implica que Soma (c-k)/((a_n +k)*(a_n+c)) = Soma (/(a_n + k) - 1/(a_n + c)) convirja eque, por sua vez, implica que Soma (1/(a_n + k)) convirja para todo k tal que a_n + k nunca se anule.
Por um raciocinio similar, vemos que, se Soma(n>=1) 1/(a_n + c) convergir para um c e Soma (1/a_n)^2 divergir, entao Soma (1/(a_n + k)) diverge para todo k<>c.
Vemos ainda que, se Soma(n>=1) 1/(a_n + c) divergir para um c e Soma (1/a_n)^2 convergir, entao
Soma (1/(a_n + k)) diverge para todo k<>c .
Exemplos: Soma(1/(n^2 + k) converge para todo k que nao seja o negativo de um quadrado perfeito
Soma(1/(n+ k) diverge para todo real k (supondo-se denominadores nao nulos)
Soma((-1)^(n)/(raiz(n) converge (c = 0) mas Soma((-1)^(n)/(raiz(n) + k) diverge para todo real k (supondo-se denominadores nao nulos).
Sendo p_n o n-gésimo primo positivo, Soma1/(p_n + k) diverge para todo k que nao seja um primo negativo.
E creio que ainda temos as seguintes conclusoes, visto que as hipoteses implicam a convergencia de Soma (1/a_n)^2 (sempre supondo-se denominadores nao nulos))
Se Soma(n>=1) 1/(a_n + c) convergir absolutamente, entao Soma(n>=1) 1/(a_n + k) converge absolutamente para todo k.
Se Soma(n>=1) 1/(a_n + c) convergir e a_n for limitada superior ou inferiormente, entao Soma(n>=1) 1/(a_n + k) converge para todo k.
Espero que isto ajude. favor checar quanto enganos.
Artur
----- Original Message ----
From: Ronaldo Alonso <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, January 8, 2007 1:12:58 PM
Subject: Re: [obm-l] Convergencia/divergencia de Soma (1/(a_n + k)
On 1/8/07, Sandra <sandra-lynn0@excite.com> wrote:
Eu gostaria de uma ajuda com esta questão: Sejam (a_n) uma sequencia de reais e c um numero real tal que Soma(n>=1) 1/(a_n + c) convirja (divirja). É então verdade que, para todo k tal que a_n + k nunca se anule, tenhamos que Soma(n>=1) 1/(a_n + k) converge (diverge)?
Note que c pode ser zero na afirmação acima.
Uma observação (mais ou menos óbvia para muitos)
que pode ser feita a primeira vista é que se a_n > 0 e k>c>0 então
a_n +k nunca se anula. Mais ainda a_n + k > a_n + c e pelo teste da comparação
se soma (a_n + c) converge então soma (a_n + k) converge.
Será que a recíproca disso é verdadeira? Talvez não porque teríamos que ter
1/(a_n +k) < 1/ (a_n + c) . Acho que dá pra achar alguma desigualdade entre
envolvendo 1/(a_n +k) , 1/a_n e 1/k mas vou depois eu penso nisso ...
[]s
Ronaldo
Por exemplo, para todo k que nao seja inteiro negativo, Soma(1/(n + k) diverge (neste caso, a conclusao eh facilmente obtida pelo teste da integral, mas hah casos mais complicados)
Esta me parecendo que isso eh verdade se, e somente se, Soma((1/an))^2 convergir, comecando-se o somatorio em algum valor de n a partir do qual a_n nao se anule. Mas não estou certa. Serah quer existe uma forma mais pratica, jah que a analise da serie Soma((1/an))^2 pode ser complicada?
Obrigada, bom 2007 atrasado para todos.
Sandra
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Ronaldo Luiz Alonso
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