[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] TreinamentoOBM-Universitário

["Ricardo" <ricardo_paixao_santos@xxxxxxxxxxxx>]

Feliz Ano novo para todos da lista!!

Obs: a galera ta resolvendo problemas de matematica ate na vespera do ano 
novo!
Tirem uma folga!!!

Felicidades


----- Original Message ----- 
From: "Saulo" <sjdmc@oi.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, December 31, 2006 12:10 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] TreinamentoOBM-Universitário


Bem agora deixarei a solução das questões, nossa ando muito ocupado.
Ainda mais agora que vou começa o estágio de Engenharia.


1-Suponha f(m) = k^2 e f(m+1)=(k+1)^2, com m e k inteiros. Seja
g(x)=f(x+m). Os conjuntos dos valores de f e de g para os inteiros que
coincidem. Temos g(x) = x^2+cx+d para certos valores de c e d. Temos  d
= g(0)=f(m)=k^2 e 1 +c+d=g(1)=f(m+1)=(k+1)^2, donde d=k^2 e  c =
(k+1)^2-1-k^2=2k, ou seja, g(x)=x^2+2kx+k^2=(x+k)^2, e logo g(x) é um
quadrado perfeito para todo x inteiro;


Saudações aos amigos da lista.
Há um tempo atrás alunos (assim como eu) sugeriram idéia para que
  nesta lista da OBM entrasse em discussão uma atividade mais voltada
para o treinamento da OBM nível Universitário. Bem eu então resolvi
aqui dar uma olhada em questões antigas que já caíram em provas de
  Olimpíadas (inclusive do exterior) e estou enviando para lista para os
amigos assim compartilharem tbm e irem se preparando tbm para OBMU 2007.
  Irei hoje colocar 2 questões creio que será bom para todos (até para
quem quer se divertir com elas ou propor de desafio para amigos) As
questão são:


  1) Os valores da função quadrática f(x)= x² +ax+b para dois
inteiros
  consecutivos são os quadrados de dois inteiros também consecutivos.
  Mostre que os valores da função quadrática são quadrados perfeitos
  para todos os inteiros coincide com o conjunto dos valores de g para os
  inteiros.

  2) Sejam M o ponto médio da base AB do trapézio ABCD; E um ponto
  interior ao segmento AC tal que BC e ME intersectam-se em F; G o ponto
  de interseção de FD e AB; H o ponto de interseção de DE e AB.
  Mostre que M é o ponto médio do segmento GH.

  Essas são questões de Olímpiadas da Rússia e Eslovênia
  respectivamente.Breve deixo as resposta. Bem quero dizer que se os
  amigos não conseguirem fazer o que importa é a tentativa e buscar da
  solução, mesmo não conseguindo. E claro espero que outros da lista
  tbm possam fazer o mesmo enviando questões e claro não se esqueçam
de depois deixarem a solução!

>>> Abraços a todos.>


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