Re: [obm-l] tetraedro e locus dos pes dos bissetores

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá,

cara, fiz o seguinte:

monte 2 piramides, utilizando M como vértice!
para isso, tome o trapézio como base e M como vertice (solido 1),
e tome o triangulo NBD como base e M como vertice (solido 2).

vol(1) = (a+3a)a/2 * 3a/3 = 2a^3
vol(2) = a*raiz(2)*4a/2*2a/3 = 4*raiz(2)/3 * a^3

assim o volume total é: (6 + 4raiz(2))/3 * a^3

ok, para obtermos o volume desejado, temos que subtrair os volumes dos 
seguintes sólidos:
base: AQPC com vértice M  (3)
base: BQPD com vértice N   (4)

vol(3) = (a/2+3a/2)a/2*3a/3 = a^3
vol(4) = (a/2+3a/2)a/2*4a/3 = 4/3 a^3

assim, o volume desejado é: [ (6+4raiz(2))/3 - 1 - 4/3 ] a^3

que é igual a: (4raiz(2)-1)/3 * a^3

abraços,
Salhab


----- Original Message ----- 
From: "Luís Lopes" <qed_texte@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, December 19, 2006 10:55 AM
Subject: [obm-l] tetraedro e locus dos pes dos bissetores


> Sauda,c~oes,
>
> Bom, a equação de Gamma é a seguinte:
>
> h_ax^2+2axy+h_ay^2+2a^2y-h_aa^2=0. A conferir.
>
> Teria que rever (na verdade estudar tudo de novo)
> o estudo de cônicas mas daria pra se dizer quais são
> os focos, diretriz(es), vértice etc pela equação acima?
>
> Mandaram-me o seguinte problema: as bases de um
> trapézio isósceles são AB=a e CD=3a e a altura mede a.
> A partir dos pontos E e F, médios dos lados não paralelos,
> levantam-se, no mesmo sentido, as perpendiculares ao
> plano da figura: EM=3a e EN=4a. Por meio de segmentos
> retilíneos, unem-se os seguintes pontos: M a N; cada um
> destes aos pontos P e Q, médios das bases do trapézio;
> P a Q. Pede-se calcular, em função de a, o volume do
> tetraedro MNPQ.
>
> []'s
> Luís
>
>
>>From: Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] locus dos pes dos bissetores
>>Date: Mon, 18 Dec 2006 21:31:01 +0000
>>
>>Sauda,c~oes,
>>
>>Dados BC=a , AH_a=h_a e BD_b=d_b (bissetriz interna),
>>construir o triângulo ABC.
>>
>>Coloque BC=a numa reta r e trace s paralela à reta r distando
>>h_a. Faça A variável em s e determine o lugar geométrico (Gamma)
>>dos pés D_b e E_b das bissetrizes internas e externas que
>>partem de B.
>>
>>A interseção de Gamma com o círculo (B,d_b) determina D_b*,
>>solução do problema. Mesmo procedimento para a bissetriz externa e_b.
>>
>>É razoável pensar desta maneira mas usando argumentos sintéticos,
>>como concluir que Gamma é uma cônica?
>>
>>Há muito tempo mandei este problema para um Forum e obtive a
>>seguinte resposta:
>>
>>it is a hyperbola, a parabola, an ellipse for h_a < a, h_a = a, h_a > a.
>>
>>Como obter Gamma sinteticamente e os resultados acima?
>>
>>[]'s
>>Luís
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