Re: [obm-l] IME/EN

["Davi de Melo Jorge Barbosa" <dbarbosa@xxxxxxxxx>]

x = número de faces triangulares
y = número de faces quadrangulares
z = número de faces pentagonais

Número de arestas:
A = (3 * x + 4 * y + 5 * z) / 2
Número de faces:
F = x + y + z

** (IME- 56/57)
Do enunciado:
x = z + 2
V = 7

V - A + F = 2 --> A - F = V - 2
(3/2*x + 2*y + 5/2*z) - (x + y + z) = 7 - 2
1/2*x + y + 3/2*z = 5
1/2*z + 1 + y + 3/2*z = 5
2*z + y = 4

Como a questão afirma que o poliedro possui faces quadrangulares e pentagonais, devemos ter y>=1 e z>=1.
Então, a única solução inteira possível para última equação é z = 1 e y = 2, o que nos dá x = 3.


** (EN - 00/01)
Do enunciado:
A = 25
y = 2*z
x = y + 4
x = 2*z + 4

A = (3 * x + 4 * y + 5 * z) / 2
A = (3 * (2*z + 4) + 4 * (2*z) + 5 * z) / 2
A = (6*z + 12 + 8*z + 5*z)/2
A = (19*z + 12)/2
Mas pelo enunciado A=25, logo:
(19*z + 12)/2 = 25
19*z = 50 - 12
z = 38/19 = 2.
Então:
y = 4
x = 8
F = 2 + 4 + 8 = 14.

V = 2 + A - F
V = 2 + 25 - 14
V = 13

On 12/13/06, arkon < arkon@bol.com.br > wrote:

Alguém da lista poderia me enviar , por favor, a resolução das seguintes questões:

 

(IME- 56/57)

Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o número de faces pentagonais de duas unidades. Pergunta-se o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices.

 

R: 3 triangulares, 2 quadrangulares e 1 pentagonal.

 

(EN - 00/01)

Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro é:

 

a) 14.  b) 13.   c) 11.  d) 10.

 

Desde já, agradeço.