[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Seqüência de médias aritméticas e geométricas

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

A respeito de sequencias de médias, vou propor uma outra questão que também
acho interessante e não me parece muito difundida:

Sejam a_n uma sequencia de numeros reais, p_n uma sequencia de pesos
positivos e s_n a sequencia das medias ponderadas dos a_n pelos p_n, isto
eh, s_n = (Soma(i=1,n)(p_i * a_i))/Soma(i=1,n)(p_i)

a) Se Soma (i=1, oo) p_n divergir, entao lim inf a_n <= lim inf s_n <= lim
sup s_n <= lim sup a_n (obviamente, a desigualdade do meio vale para
qualquer seq. de reais).  Daih concluimos que, se a_n -> a, então s_n -> a,
mesmo que a = oo ou a = -oo.

b) Se Soma (i=1, oo) p_n convergir, entao, se a_n for limitada, s_n converge
em R. Logo, se a_n ->a em R , entao s_n -> s em R, podendo-se ter a <> s.   

Consideracoes analogas vale para a sequencia das medias geometricas
ponderadas.

Artur



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 13 de dezembro de 2006 06:49
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Seqüência de médias aritméticas e
geométricas



http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "OBM" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Tue, 12 Dec 2006 19:08:32 -0200
Assunto: [obm-l] Seqüência de médias aritméticas e geométricas

> Olá a todos. Há algum tempo imaginei um problema que tentei resolver mas
não
> consegui. Eu achei interessante, e gostaria de compartilhar:
> 
> Sejam a_0, b_0 reais positivos não nulos. Defina as seguintes seqüências:
> 
> a_i = sqrt(a_(i-1) * b_(i-1))
> b_i = 1/2 * (a_(i-1) + b_(i-1))
> 
> Isto é: a seq. a é das médias geometricas dos 2 termos anteriores de cada
> seq. a e b.
> A seq. b é a das médias aritméticas dos termos anteriores das seqs. a e b.
> 
> Provar que ambas convergem, e para o mesmo valor, é simples. Agora a
questão
> que não quer calar: qual é o limite destas seqüências, em função apenas
dos
> termos iniciais?
> 
> Abraço,
> Bruno
> 
> -- 
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
> 
> e^(pi*i)+1=0
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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