Re: [obm-l] o chapeu de Rudin.

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá,
cara, realmente, nunca vi isso, mas vou tentar te ajudar.

seja p um racional, entao: q = a/b, b!=0, mdc(a,b)=1, p^2 < 2
agora, vamos tomar um q = 2(p+1)/(p+2)

q-p = 2(p+1)/(p+2) - p = (2p+2-p^2-2p)/(p+2) = (2-p^2)/(p+2)
mas p^2 < 2, logo: q-p > 0 => q > p

falta mostrar que q^2 < 2

2 - q^2 = 2 - 4(p^2 + 2p + 1)/(p^2 + 4p + 4) = (2p^2 + 8p + 8 - 4p^2 - 8p - 
4)/(p^2 + 4p + 4) = (4 - 2p^2)/(p^2+4p+4)
mas p^2 < 2 => 4 - 2p^2 > 0 => 2 - q^2 > 0 => q^2 < 2

bom, agora a motivacao pra ele ter escolhido este q:
p^2 < 2 => 2 - p^2 > 0 .. ele quer um q, tal que q > p e q^2 < 2
isso é: q = p + k, k > 0
q^2 < 2
q < sqrt(2) => k < sqrt(2) - p

multiplicando e dividindo por sqrt(2)+p, ficamos com: k < 
(2-p^2)/(sqrt(2)+p)
bom, sqrt(2) < 2 => sqrt(2)+p < 2+p +> 1/(sqrt(2)+p) > 1/(2+p) => 
(2-p^2)/(2+p) < (2-p^2)/(sqrt(2)+p)

veja bem, tomando k = (2 - p^2)/(2+p), temos nossa condicao satisfeita 
sempre..

tambem poderia ser k = (2 - p^2)/(3+p), por exemplo.. ou qquer numero maior 
que sqrt(2)..
mas ele escolheu 2 :)

espero ter ajudado,
um abraço,
Salhab



----- Original Message ----- 
From: "niski lista" <niskilista@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, December 06, 2006 7:19 PM
Subject: [obm-l] o chapeu de Rudin.


O Rudin, no começo do livro "Principles of Mathematical Analysis" (3rd 
edition)
define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 < 2.
Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q
tal que p < q.
Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p > 0 o numero

q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2)

Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca
seria: "q foi tomado dessa forma pois é o que funciona".

Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse 
q ?

Um abraço a todos.

Niski

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